зрения формы частные предложения причисляются к общим.

В самом деле, хотя существовал только один святой апостол Петр, можно, однако, сказать, что, кто бы ни был святой апостол Петр, он отрекся от своего учителя. Таким образом, хотя силлогизм: «Святой Петр отрекся от своего учителя, Петр был учеником, следовательно, некоторый ученик отрекся от своего учителя» содержит лишь единичные предложения, но считают, что он содержит их как общеутвердительные и составлен по модусу Darapti третьей фигуры.

Ф и л а л е т. Я желал Вам сказать еще, что, по-моему, лучше переставить посылки силлогизмов и говорить: «Все А суть В, все В суть С, следовательно, Все А суть С», чем

==500

говорить: «Все В суть С, все А суть В, следовательно, все А суть С». Но из сказанного Вами следует как будто, что это признано и что оба силлогизма относятся к одному и тому же модусу. Во всяком случае, как Вы заметили, расположение частей силлогизма, отличное от обычного, более годно для цепи из нескольких силлогизмов.

Т е о ф и л. Я вполне согласен с Вами, но, по-видимому, считали более полезным с дидактической точки зрени начинать с общих предложении, какими и являютс большие посылки в первой и во второй фигурах; и существуют еще ораторы, имеющие привычку излагать таким образом свои мысли. Но связь между предложениями выступает лучше при предлагаемом Вами расположении их. Я уже указывал, что Аристотель, может быть, имел свои основания принять обычное расположение посылок силлогизма. Действительно, вместо того чтобы говорить: «А есть В», он обычно говорит: «В есть А». При такой формулировке требуемая вами связь должна получатьс у него при принятом расположении посылок силлогизма.

В самом деле, вместо того чтобы говорить: «В есть С, А есть В, следовательно, А есть С», он говорит: «С есть в В, В есть в Л, следовательно, С есть в А». Например, вместо того чтобы говорить: «Прямоугольник есть равноугольник, квадрат есть прямоугольник, следовательно, квадрат есть равноугольник», Аристотель, не переставляя предложении, сохраняет среднее место для среднего термина благодаря своему способу формулировки предложении, перемещающему их термины, и говорит: «Равноугольник есть в прямоугольнике, прямоугольник есть в квадрате, следовательно, равноугольник есть в квадрате». Этим способом формулировки не следует пренебрегать, так как в действительности предикат есть в субъекте пли же иде предиката включена в идею субъекта Так, например, равноугольник есть в прямоугольнике, так как прямоугольник ость фигура, все углы которой, будучи прямыми, равны; следовательно, в идею прямоугольника включена идея фигуры, все углы которой равны, а это и есть идея равноугольника. Обычный способ формулировки относится скорое к индивидам, аристотелевский же скорее к идеям или универсалиям. Действительно, говоря: «Всякий человек есть животное», я хочу этим сказать, что все люди находятся в числе всех животных, но одновременно я имею в виду, что идея животного включена в идею человека.

Животное содержит больше индивидов, чем человек, но

==501

человек, содержит больше идей или больше формальных определений. Животное содержит больше экземпляров, человек — больше степеней реальности; у первого больший объем, у второго — большее содержание. Поэтому мы вправе сказать, что все учение о силлогизме можно доказать на основании учения de continente et contcnto (о содержащем и содержимом), которое отлично от учени о целом и части, так как целое всегда больше части, между тем как содержащее и содержимое иногда равны, как это бывает в случае взаимных предложений.

§ 9.

Ф и л а л е т. Я начинаю составлять себе совершенно иное представление о логике, чем раньше. Я ее считал какой-то школьной игрой, а теперь я вижу, что здесь имеется своего рода универсальная математика, как Вы ее понимаете 467. Дай Бог, чтобы удалось сделать из нее нечто большее, чем то, что она представляет собой теперь, и найти в ней те истинные пособия для разума, о которых говорил Гукер и которые подняли бы людей высоко над их теперешним состоянием. А разум тем более нуждаетс в них, что объем его довольно ограничен и что во многих случаях он изменяет нам. Это происходит: 1) потому что часто нам недостает самих идей.

§ 10. 2) Они часто смутны и несовершенны; там же, где они ясны и отчетливы, как в случае чисел, мы не встречаем никаких непреодолимых трудностей и не впадаем ни в какие противоречия.

§ 11. 3) Часто также трудность происходит оттого, что нам недостает опосредствующих идей. Известно, что до открыти алгебры, этого великого орудия и замечательного доказательства человеческой проницательности, люди смотрели с изумлением на некоторые доказательства древних математиков.

§ 12. 4) Случается также, что основываютс на ложных принципах, что может привести к трудностям, в которых разум не только не помогает нам, но еще более запутывает нас.

§ 13. Наконец, 5) термины, значение которых неопределенно, приводят разум в замешательство.

Т е о ф и л. Я не уверен, действительно ли нам так недостает идей, именно отчетливых идей, как это думают.

Что касается неотчетливых идей, или, вернее, образов, или, если хотите, впечатлений, таких, как цвета, вкусы и т. д., являющихся результатом ряда мелких, самих по себе отчетливых идей, которых, однако, мы не сознаем отчетливо, то их нам недостает бесконечное множество, и они подходят скорее другим существам, чем нам. Но с другой стороны, эти впечатления способны скорее

==502

пробуждать инстинкты и служить основой для опытных наблюдений, чем доставлять материал разуму, если только они не сопровождаются отчетливыми восприятиями. Таким образом, нас останавливает главным образом наше недостаточное знание этих отчетливых идеи, теряющихс среди идей неотчетливых, а иногда, когда даже все отчётливо предстает перед нашими чувствами или перед нашим духом, нас сбивает с толку множество требующих рассмотрения вещей. Например, когда перед нами находится куча в тысячу ядер, то ясно, что, для того чтобы хорошо представить себе число и свойства этого множества, полезно разместить их в виде некоторых фигур, как это делают на складах. Таким путем мы получаем отчетливые идеи о них и закрепляем их настолько, что можем избавиться от труда считать их больше одного раза.

Благодаря опять-таки множеству идей имеются очень большие трудности даже в науке о числах, в которой ищут поэтому сокращенных методов, но иногда неизвестно, допускает ли их в данном случае существо дела. Например, что проще на первый взгляд понятия первого числа, т. е. целого числа, делящегося только на единицу и на самого себя? Однако и до сих пор тщетно ищут положительного и легкого признака для верного распознавания этих чисел без испробования всех первых множителей, которые меньше квадратного корня из данного первого числа.

Имеется множество признаков, показывающих без больших выкладок, что такое-то число не первое, но требуется найти один легкий признак, который позволял бы судить с достоверностью, что такое-то число первое 468. По этой же причине пока несовершенна алгебра, хотя нет ничего более известного, чем идеи, которыми она пользуется, так как они означают лишь числа вообще. В самом деле, мы не знаем еще способа находить иррациональные корни уравнении выше четвертой степени (за исключением одного очень частного случая); а методы, которыми пользовались соответственно Диофант, Сципион Ферро и Лудовико Форрари 469 для приведения уравнений второй, третьей и четвертой степеней к уравнению первой степени или дл приведения нечистого уравнения к уравнению чистому, отличаются все друг от друга, т. е. метод, пригодный дл уравнения одной степени, отличается от метода, пригодного для уравнения другой степени. Действительно, уравнение второй степени, или квадратное уравнение, можно привести к уравнению первой степени, отнимая только

==503

второй член. Уравнение третьей степени, или кубическое уравнение, было решено благодаря тому, что, разбив неизвестное на части, удалось получить уравнение второй степени. А в уравнениях четвертой степени, или в биквадратных уравнениях, прибавляют нечто к обеим сторонам уравнения, чтобы из каждого из них можно было извлечь корень, и, к счастью, оказывается, что для этого нужно только кубическое уравнение. Однако, все это ость лишь смесь счастья или случая с искусством или методом.

Поступая так с уравнениями последних двух степеней, не знали, получится ли при этом положительный результат.

Поэтому нужна еще какая-то новая уловка, чтобы добитьс успеха в случае уравнения пятой и шестой степеней. И хот Декарт думал, что метод, которым он пользовался дл уравнения четвертой степени (рассматривая его как произведение двух квадратных уравнений) и который по существу не может дать больше, чем метод Лудовико Феррари, приведет к положительному результату и в случае уравнения шестой степени, но его ожидания не оправдались. Эта трудность показывает, что даже самые отчетливые и ясные идеи не всегда дают нам то, что мы требуем и что можно извлечь из них. И это заставляет также думать, что алгебра далеко не есть искусство изобретения, так как сама она нуждается в более общем искусстве. Можно сказать, что общее искусство знаков (specieuse en general), или искусство обозначения (l’art descaracteres), представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение. Когда знакомишься с арифметикой Диофанта и геометрическими трудами Аполлони и Паппа , то не остается сомнений в том, что они обладали чем-то подобным. Виет расширил это, выразив с помощью общих знаков не только искомые, но и заданные числа, делая посредством вычислений то, что Евклид делал уже посредством рассуждений. Декарт же приложил это исчисление к геометрии, характеризуя линии при помощи уравнении 470. Однако и теперь еще, после открытии нашей современной алгебры, г-н Бульо (Исмаель Булиальд) 471, несомненно превосходный геометр, с которым я познакомился еще в Париже, не переставал восхищатьс доказательствами Архимеда, относящимися к спирали, и не мог понять, каким образом этот великий человек догадалс использовать касательную к этой кривой для измерени круга. Патер Григории Сен-Винцентский 4, по-видимому, угадал, решив, что Архимед пришел к этому па основании

==504

аналогии между спиралью и параболой. Но этот метод носит только частный характер, между тем как новое, пользующееся разностями исчисление бесконечно малых величин, которое я придумал и опубликовал, с успехом дает общий метод, для которого это открытие с помощью спирали является лишь игрушкой и один из самых легких случаев, как почти все то, что было найдено раньше по вопросу об измерении кривых. Причина преимуществ этого нового исчисления заключается опять-таки в том, что оно разгружает воображение в проблемах, которые Декарт исключил из своей геометрии под тем предлогом, что они чаще всего приводят к механике, в действительности же потому, что они не подходили к его исчислению. Что касается ошибок, вытекающих из двусмысленности терминов, то от нас зависит избегнуть их.

Ф и л а