гается как бы уже найденным и, исходя из этого, происходит переход к данным. А что это правда и древним было небезызвестно то искусство, которое сегодня называют алгеброй, и геометрическое исчисление с помощью букв, которое ныне вошло в употребление, доказывает не только то, что они дали в учении об отношениях и пропорциях, и не только «Арифметика» Диофанта, но и открытие и постановка ряда весьма трудных задач, к которым, по-видимому, они не могли легко прийти иначе, чем осуществляя с помощью конических сечений и линии конхоид или циссоид нахождение двух средних пропорциональных и трисекцию угла. Поэтому представляется, что они обладали знанием о «местах» (loci), или кривых линиях, и это хорошо демонстрируют Аполлоний и Папп. Но поскольку они не уделяли должного внимания тем построениям, которые требовали для своего исполнения не линейки и простого циркуля, а сложных инструментов, постоль-

==199

ку они меньше внимания уделяли трактовке линий более высоких порядков. А той, более специальной геометрией, которая состоит в употреблении неделимых и бесконечных для измерения криволинейных фигур и которая совершенно отлична от общеизвестного анализа и алгебры, владел один только Архимед. Но он намеренно утаил этот метод, и, право же, никто из древних, насколько известно, не разрешил ни одной проблемы с помощью Архимедова искусства, за исключением, пожалуй, того, кто открыл квадратриссы. Однако это искусство не могло ускользнуть от проницательности людей нашего века.

Но если бы даже древние не оставили нам ничего другого, кроме «Начал» Евклида, они все же заслуживали бы от человеческого рода большего уважения, чем может казаться толпе. Из всех деяний европейцев ничто так не поразило китайцев, как эти неопровержимые доказательства, ничего подобного которым они не видели и о которых многие и из наших эрудитов, никогда их внимательно не рассматривавших, имеют не большее представление, чем слепые о цветах. Ведь многие, как я вижу. воображают себе, что геометры открывают теоремы посредством проб и опытов, и сам Иосиф Скалигер, человек, поражающий своей ученостью и отнюдь не несведущий в геометрии, полагал, что квадратура параболы была открыта Архимедом благодаря случайному взвешиванию деревянной параболы и лишь потом было найдено доказательство. Отменно сказано! Отсюда происходит, что те люди, которые мало касались этого поприща, имеют недостаточное понятие о том, что есть истина и что есть доказательство. и склоняются к скептицизму, довольствуясь легковесными восприятиями. Поэтому мы должны быть чрезвычайно благодарны древним за то, что они оставили нам строго написанные книги. Не будь их, я уверен, что мы имели бы какую-то вероятностную и «эмпирическую» геометрию более низшего разряда, которой я, помнится, пользовался на свой страх и риск еще ребенком, когда хотел получить квадратуру круга, думая, что его сегменты пропорциональны описанным прямоугольникам — мнение, которого я долго придерживался, покуда не занялся этими исследованиями серьезно. Такой же была та геометрия, которой пользовались кардинал Кузанский, Оронций Финейский и другие полугеометры. Она была полна ошибок и спорных утверждений, и, возможно, людям тогда не больше пришло бы на ум, что в геометрии можно писать доказательно, чем

==200

сегодня им приходит на ум то. что мною теперь впервые будет показано, а именно что подобный неопровержимый способ рассуждения имеет место во всякой аргументации и что в философии со спорами можно покончить так же. как и в геометрии,— посредством исчисления.

Но вернемся к математическим сочинениям древних, перечисление которых, поскольку их число достаточно велико, не имеет смысла, особенно если учесть, что эту область ученые мужи давно уже освоили. Стоит напомнить о том, что было бы, по-видимому, желательно, чтобы все из того, что остается еще неизданным, постепенно появлялось на свет. Меня удивляло, что среди изданных древних теоретиков музыки был опущен Птолемей, который может считаться их главой. В конце концов Птолемея опубликовал достославный Джон Валлис, освободив меня от этой мысли, на которой, если бы когда-нибудь нашлось время, ради упражнения, дабы прерванные исследования греческих наук полностью не прекратились, я собирался сосредоточиться, ободряемый Маркардом Гудием, который. приобретя почти невероятную подготовку в самой изысканной учености, великодушно представил свой «Кодекс». До сих пор ожидают своей очереди сочинения Герона, и их было бы небесполезно свести в одно собрание. Все еще ждет своего издателя и вождь древних арифметиков Никомах из Геразы, на которого другие писали комментарии. Мы ждем от Исаака Фоссия завершения географии древних, а от Петра Даниэля Гуэция — астрологических сочинений предшественника Птолемея — Ветция Валента. Оба они — люди выдающейся учености. Можно было бы в какой-то степени пролить свет и на геодезию древних (о которой имеется небольшая неизданная книга Герона), и на тех писателей, которые составили описания управляемых территорий 36. Далее, если бы мы посчитали, что и в других науках многие древние нас превосходили, то по части знания воинского искусства мы стоим значительно ниже. Ведь, даже если не касаться того, что связано с открытием пороха, во всех остальных отношениях мы далеко отстоим от них, в чем убеждались и великие полководцы нашего времени по прочтении Полибия и Цезаря. Но это происходит не потому, что, предпочитая стройность разнообразным фигурам, мы превозносим наши построения, ибо создается впечатление, что, чрезмерно предаваясь упражнениям, относящимся к искусству, мы пренебрегаем упражнениями того, что дано нам от природы,— упражнениями, с по-

==201

мощью которых древние воины приобретали крепость и гибкость своих членов и благодаря которым нас и поныне устрашают турки, хотя они и не знают тактического искусства, которым древние отличались не меньше, чем наши Но кто счожет сказать о наших воинах то, что сказал Цицерон о римлянах… 37 что для них шлем, щит и оружие представляют не большую тяжесть, чем сами члены тела?

Что мы превосходим древних в искусстве живописи, ваяния или зодчества, не отважутся утверждать даже люди наиболее сведущие в этих искусствах. О том. что у римлян были к тому же и замечательные машины, можно судить не только по Герону и Витрувию и по грандиозным военным сооружениям, но и по тем знаменитым чудодейственным спектаклям, которые они, по описаниям, устраивали. А если бы сохранилась книга Стратона из Лампсака о металлических машинах, тогда еще легче было бы судить о том, что сделали древние в сравнении с нами. Но этого и других утраченных творении древних, которые отчасти перечислены Гвидо Панциролло и список которых можно легко продолжить, я не могу здесь касаться. И несомненно то, что древние высказали об округлости земного шара, что они оставили после себя относительно острова Атлантида и островов Блаженных, границ Африки и Восточной Индии, воодушевляло наших аргонавтов. Известно, что сочинения Марко Поло, доставленные из Италии, прибавили духу португальцам. А если бы имелось сообщение монаха Козьмы, который уже во времена Юстиниана добрался до китайцев ,— сообщение, которое было извлечено Эмериком Бигоцием из библиотеки Медичи и которое опубликовал Февеноций — человек, отличающийся редчайшей ученостью в поразительно широком круге вопросов и достойный похвалы за великое рвение в делах общественных,— если бы оно имелось, то все это могло бы стать известным гораздо раньше. Мы по справедливости оцениваем и хронологию, составленную по затмениям и другим признакам, которая, если даже не может быть очень полезна для точного различия исторических событий, все же представляет прекрасную вещь. И вообще о всех тех, кто почитает только свою эпоху, можно справедливо сказать то, что сказал египетский жрец о греках: они всегда остаются детьми, тогда как от соединения достижений древних с нашими успехами человеческое познание, по-видимому, все больше и больше мужает.

==202

ДВА ОТРЫВКА О ПРИНЦИПЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Один общий принцип, полезный не только в математике, но и в физике, при помощи которого из рассмотрения божественной премудрости исследуются законы природы, в связи с каковыми разъясняется спор, возникший с достопочтенным отцом Мальбраншем, и отмечаются некоторые заблуждения картезианцев

Этот общий принцип вытекает из рассмотрения бесконечного и оказывается весьма полезным для мышления, хотя он и не применяется в достаточной степени и не вполне выяснен. Он безусловно необходим в геометрии, но его можно с успехом применять и в физике, так как высшая премудрость, являющаяся источником вещей, применяет совершеннейшую геометрию и соблюдает гармонию, красо та которой несравненна. Итак. я часто пользуюсь при испытаниях и исследованиях этим принципом как своего рода пробирным камнем, благодаря которому тотчас и с первого взгляда можно выяснить ошибочность многих непоследовательных мнений, даже без детального исследования фактов. Этот принцип может быть сформулирован следующим образом: когда различие между двумя случаями, представляющимися в том, что дано или допускается, может уменьшаться таким образом, что оно становится меньше всякой величины, то необходимо, чтобы и различие между соответственными случаями, представляющимися в искомых или в выводах, вытекающих из того, что дано или допускается, уменьшалось таким образом, чтобы оно становилось меньше всякой величины. Или, выражаясь яснее: когда случаи (или данные) непрерывно приближа-

==203

ются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы и в соответственных следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое. Это вытекает из еще более общего принципа: когда данные следуют одно за другим в определенном порядке, то и искомые следуют одно за другим в определенном порядке. Но следует пояснить это правило легкими примерами, для того чтобы лучше выяснить, на чем основано его применение. Мы знаем, что конические сечения получаются благодаря проектированию окружности и что проекция прямой есть прямая. Если же прямая пересекает окружность в двух точках, то и проекция прямой пересечет проекцию окружности, например эллипс или гиперболу, в двух точках. Но секущая может двигаться таким образом, чтобы все более и более увеличивалась часть ее, расположенная вне круга, и чтобы точки пересечения все более и более приближались друг к другу, пока они наконец совпадут, причем в этом случае прямая начинает выходить из круга или становится касательной к окруж ности. Тогда, следовательно, и сами проекции точек пересечения прямой к окружности, т. е. точки пересечения проекции прямой с проекцией окружности, должны непрерывно приближаться друг к другу, и наконец, когда сами точки пересечения совпадают, совпадут и проекции этих точек. Следовательно, когда первая прямая становится касательной к окружности, то и прямая, являющаяся проекцией этой прямой, становится касательной к кониче скому сечению, представляющему собой проекцию окружности. Эта истина принадлежит к числу основных теорем, относящихся к коническим сечениям, и она доказывается не косвенным путем и не с помощью фигур, но