можно было бы переменную величину считать тезисом, а антитезисом — постоянную. Интереснее другое. Интереснее вопрос, что же получится из соединения постоянной и переменной величин в один единый диалектический синтез. Интереснее то, какая новая категория возникает, если мы зададимся целью дать внутренно–внешнее тождество алогически становящегося числа, являющегося сразу и постоянной, и переменной величиной. Перейдем к этому.
4. Тут возникает одно из фундаментальных понятий всей математики, и в особенности математического анализа; и здесь мы должны соблюсти сугубую осторожность, субтильность диалектического исследования. Именно, здесь рождается категория непрерывности, непрерывной величины.
а) Что непрерывная величина есть вид переменной величины, это ясно само собой. Непрерывно то, что меняется или что может меняться. Перемена логически предшествует непрерывности, ибо перемена может быть и непрерывной, и прерывной. Но должно быть столь же ясным и то, что непрерывность есть также вид постоянства. Чтобы быть непрерывным, надо, во–первых, меняться. Но поскольку не всякое изменение непрерывно, необходимо еще дополнительное условие. Необходимо, чтобы вещь не только переходила от точки А к точке ?, но чтобы этот переход не приводил вещь к разрыву, т. е. чтобы точка А в то же время не отрывалась от точки В. Как это ни странно с иной точки зрения, но непрерывность— только там, где действительно нет ни малейшего перерыва между отдельными моментами изменения вещи. Иначе для чего и употреблять такой термин? Однако отсутствие перерыва между отдельными моментами изменения есть в конце концов какое–то отсутствие различия между ними. Они различны так, что в то же время остаются вполне тождественными между собою, как и тождественны они — в меру своего различия. Но величина, которая меняется так, что между отдельными моментами ее изменения нет ровно никакой разницы, уже не есть величина переменная. Это, наоборот, величина вполне постоянная. И таким образом, постоянство и изменение должны в одинаковой мере войти в непрерывность, которая и есть такое изменение, что изменяющееся остается постоянным, и такое постоянство, что постоянное пребывает в измененном. Непрерывность без изменения есть только абстрактное и неподвижное тождество разных теоретически установленных смысловых моментов; в ней нет никакого движения, так что неизвестно, как же происходит переход от одного момента к другому в случае, именуемом как непрерывное движение. Непрерывность без постоянства есть чисто алогическая стихия, в которой становится неизвестно что и в которой нет никакого расчленения, так что неизвестно, что же именно непрерывно. В обоих случаях непрерывность вполне перестает быть непрерывностью и становится прерывностью. Итак, непрерывность есть безусловное тождество постоянства и изменения.
b) Мало этого. Можно ли непрерывность назвать только безусловным тождеством постоянства и изменчивости? Такое определение и наименование было бы совершенно правильным, если бы всегда отдавался точный отчет в употреблении терминов «постоянство» и «изменчивость». Обычно не обращают внимание на то, что оба эти понятия указывают не на плоскостную, но рельефную, а именно трехсоставную, структуру. Постоянным и переменным может быть только то, в чем есть противоположность внутреннего и внешнего и в чем эта противоположность определенным образом уравновешена. Как мы уже видели, переменно то, что, во–первых, есть нечто само по себе, — скажем, число, — а во–вторых, принимает разные внешние значения, — скажем, количественные размеры. Тогда, зная, что эти значения здесь наличны фактически или потенциально, мы именуем данную величину переменной. Раз переменная и постоянная величины вошли в непрерывную величину, то тем самым в последнюю вошла и уравновешенная антитеза внутреннего и внешнего. Непрерывно то, в чем внутреннее и внешнее так совпали в единое нерушимое тождество, что уже нельзя сказать об этом тождестве, постоянно ли оно или переменно, и необходимо говорить, что оно в одинаковой мере и постоянно, и переменно.
Что было бы, если бы имелось только одно тождество постоянства и изменчивости, и в это тождество не вносилась бы антитеза внутреннего и внешнего, и понятия постоянства и изменчивости обладали бы чисто плоскостным характером, не указывая ни на что внутреннее и внешнее? В этом случае мы имели [бы] голое и пустое становление, которое хотя и мыслится вначале как непрерывное, но не есть сама непрерывность, ибо может быть и прерывным. Становление плоскостно, поскольку в нем совершенно не ставится вопроса о характере становления. Оно, взятое само по себе, не структурно, ибо оно — лишь первый результат синтеза бытия и небытия; и та реальность, которая ему свойственна (а реальность тут не может не быть, поскольку тут тоже налична трех–составность бытия, небытия и самого становления), совсем не та, которая давала бы структуру уже готовому становлению. Становление, взятое без антитезы внутреннего и внешнего, есть только принцип, в то время как непрерывность есть уже приложение этого принципа. Становление не структурно как становление; непрерывность же есть определенное структурное оформление самого становления. В становлении поставлен вопрос: перешло ли бытие в небытие или нет? И разрешен положительно: да, бытие здесь перешло в небытие и синтезировалось с ним. Совсем другой вопрос стоит в сфере непрерывности. Если бы здесь стоял такой вопрос, то в сфере непрерывности шла бы речь о том, стоит ли на месте данная вещь или развивается. Но разве этим мы интересуемся, когда говорим о непрерывности? Тут вовсе дело не в том, движется ли данная вещь или покоится. Этого очень мало для понятия непрерывности. Дело здесь в том, что вещь уже пребывает в становлении, что становление здесь уже сформировано и не прекращается ни при каких условиях, и только говорится о том, какое же именно тут становление, какова структура этого становления. Именно, в сфере непрерывности ставится такой вопрос: если мы будем придавать становящейся величине то или иное значение, то будет ли эта становящаяся величина функционировать по–старому или нет? Становление уже налично, уже действует, и спрашивается: всегда ли одинаково оно будет действовать, если оно будет действовать в том или ином направлении, или же это направление действия оказывает влияние на самое действие? И когда имеется в виду непрерывность, ответ гласит: никакое направление становления, т. е. никакое оформление его в количественные отношения, не действует на становление как на становление, и последнее остается самим собою в течение всего своего протекания через разные количественные значения. Тут ясно происхождение антитезы внутреннего и внешнего. Как в переменной величине наличны, во–первых, сама числовая структура, а во–вторых, ее количественные значения, так в непрерывной величине наличны, во–первых, становящаяся числовая структура, а во–вторых, те или иные ее количественные значения. Как в случае с переменной величиной мы устанавливаем подвижность ее количественных значений при неподвижности внутреннего остова, носителя этих зна[че]ний (например, в формуле пути S падающего в пустоте тела в зависимости от времени t, S =gt где g = 981 см/сек., мы имеем переменные величины S и t при неподвижности самой формулы для g) так и в случае с непрерывной величиной мы устанавливаем непрерывность ее количественных значений при неподвижности и прерывности внутреннего остова, носящего на себе эти непрерывно становящиеся значения, т. е. при неподвижности самого принципа становления, в которое погружена данная величина. Упомянутая формула для пути падающего тела — и в случае толкования величин как переменных, и в случае толкования их как непрерывных— одинаково предполагает один основной и первоначальный факт, а именно, что тело падает. И только этот общий для обоих случаев и внутренний для своей внешней значимости факт по–разному проявлен вовне. Когда мы говорим о непрерывной величине, то точки применения к ней той или иной количественной значимости настолько близки одна другой, что они уже готовы слиться и фактически сливаются. В этом и заключается вся особенность непрерывности, а противоположность (уравновешенная) внутреннего и внешнего равно в той же мере свойственна непрерывной величине, как и просто переменной.
5. Если мы вспомним те рассуждения, которые обычно сопровождают в математике тему о непрерывных величинах и функциях, то легко убедиться, что эти рассуждения возможны только на основе развитого здесь диалектического учения.
Элементарное определение непрерывной величины сводится в математике к тому, что разница между двумя значениями данной величины может стать меньше любой заданной величины. Если данная величина именно такова, что к любой точке ее становления применимо условие исчезающе малого расстояния ее от соседней точки, то эта величина — непрерывна.
Уже тут выясняется необходимость вводить в понятие непрерывности как тождество постоянного и переменного, так и тождество внутреннего и внешнего. Первое тождество образует собою всю стихию алогического становления, без которого не могло бы происходить движение, но [с] исчезающе малым расстоянием; второе же тождество обусловливает собою антитезу самой величины с теми или другими ее отдельными значениями.
Далее, хотя мы еще не раскрыли понятия функции, все же можно, базируясь не на диалектическом, а пока на чисто математическом ее понимании, привлечь сюда и обычное определение непрерывной функции. Как известно, функция называется непрерывной в данной точке тогда, если ее значение в данной точке может быть с какой угодно точностью выражено через всякое другое ее же значение при условии достаточной близости аргументов к этой точке, другими словами, для непрерывности функции <f(x)> необходимо и достаточно, чтобы если есть какое угодно малое положительное число ?, то всегда существует тоже другое число [?], в силу которого для всех точек, где , существует также неравенство
·
В точке [b ] функция указывается тем пределом, к которому стремятся значения любого ряда чисел, стремящихся к пределу. Если <? (х)> стремится к [b ] как к своему пределу, то этот предел равен как раз значению функции от [х] когда [х] станет равным [а]. Это определение непрерывной функции обязательно предполагает, что 1) уже есть становление двух величин, т. е. тождество постоянства и изменчивости, становление функционально связанных между собою величин, что 2) это становление облекается в новую форму, принимая те или иные значения, откуда антитеза внутреннего и внешнего, и, наконец, что 3) эта новая форма развивается так же последовательно, как и само становление, теоретически взятое. Иначе говоря, в непрерывной функции точно так же, как и вообще в непрерывной величине, чистый алогизм и не–расчлененное становление объединяются с антитезой внутреннего (основная структура) и внешнего (отдельные количественные значения) содержания.
Говоря о том, как определяется непрерывность в математике, стоит привлечь рассуждение Дедекинда о сечениях в области вещественных чисел, с которым мы уже столкнулись выше, в [§ 60.7]. Аксиома непрерывности вещественных чисел гласит, как мы помним, следующее. Пусть мы имеем две области вещественных чисел А и 5, о которых известно, что каждое вещественное число принадлежит или к А, или к В и что всякое число а из А меньше всякого
