понятия.
8. Здесь мы, наконец, можем внести во все наши рассуждения последнюю ясность—в целях получения категории производной функции, — привлекая одну простейшую и общеизвестную категорию из школьной логики.
Производная есть предел дробления родовой общности, или родового понятия, т. е. принцип этого дробления. То, что развертывается на лоне родового понятия, то, что непрерывно становится здесь, развертывается и становится по определенному принципу, дробится и делится по определенному принципу и основанию. Не встречаем ли мы здесь своего старого знакомого в школьной логике, знаменитое «основание деления», principium divisionis, без которого, как справедливо учит школьная логика, не может быть никакого планомерного деления рода на виды? Да, именно так. Производная от данного понятия и есть не что иное, как основание, или принцип, деления его на виды. Она есть не что иное, как ин–финитезимальный коррелят обычного формально–логического «основания деления».
В самом деле, основание деления, если его не понимать так вещественно изолированно, как это делает формальная логика, констатирующая только самый факт «основания деления», есть, конечно, предел для всех относящихся к нему видов. Это есть направление, в котором происходит деление. Пусть мы делим треугольники на известные три вида. Эти три вида треугольников предполагают, что мы рассматриваем треугольники с некоторой одной точки зрения, с точки зрения отношения его углов к прямому углу. Эта точка зрения, этот принцип, это основание и есть то, что руководит нами при перечислении трех видов треугольников. В логическом смысле «отношение углов треугольника к прямому углу» есть то, что каждый раз по–своему стремится выразить и прямоугольный, и остроугольный, и тупоугольный треугольник. Может ли это отношение выразиться где–нибудь целиком? Конечно, нет. Когда оно выражается определенным образом, напр., в прямоугольном треугольнике, то ведь кроме этого остаются невыраженными другие его возможности. Итак, основание деления рода на виды есть, несомненно, предел или принцип для выражения возникающих здесь отдельных видов. И если мы не будем считать, что виды складываются вроде как камешки в ящике, а будем фиксировать непрерывное появление видов на лоне рода, то—соответственно— и формально–логическое «основание деления» перестанет быть категорией, резко изолированной от видов, а станет к ним в такое отношение, чтобы было видно, как их бесконечное стремление, их непрерывное взаимослияние, их взаиморасхождение регулируется каким–то одним законом, который остается неизменным при любых изменениях, и что этот предельный закон и есть непрерывно функционирующее здесь «основание деления». Далее, в формальной логике большею частью не ставится вопроса о том, откуда же берется «основание деления», если его сравнить с тем родовым понятием, которое здесь делится. Это «основание деления» никак не связано здесь с видами, но оно также никак не связано и с делимым родом. Связь с видами мы только что установили как предел, регулирующий появлению видов. Как же теперь инфинитезимально связать это «основание деления» с делимым родовым понятием? Только понимание «основания деления» как производной способно дать тут удовлетворительное решение вопроса.
В самом деле, в понятии производной входит отношение между становлением функции и аргумента. Другими словами, здесь берется родовое понятие (функция) и отраженная в нем вещь (аргумент) и берется их отношение, т. е. они сравниваются. Что это значит? Что значит сравнить данное родовое понятие вещи с самой вещью? Это значит их соотнести, отразить одно на другом. Правда, родовое понятие уже с самого начала появилось как результат отражения вещи. Но когда оно впервые только появлялось, еще не ставился вопрос о его соотношении с вещью как чего–то целого и законченного. Как мы говорили выше, у нас тут рефлектирова–лась вещь (для получения ее отражения), но еще тем самым не рефлектировалось ее отражение, ее образ. Теперь же мы уже имеем цельный и законченный образ вещи, и теперь мы можем именно этот цельный и законченный образ вещи соотнести с самой вещью. И что же мы тут получаем? Мы тут получаем возможность рассматривать общее понятие с точки зрения изменений вещи, т. е. вносить в него самого эти вещественные изменения, — конечно, с их смысловой модификацией, которая требуется отобразительной и функциональной природой понятия и мышления.
Другими словами, мы имеем родовое понятие собаки, которое было просто существенным (и потому обобщенным) отражением Жучки или Мумки, и больше ничего. А теперь мы смотрим на те различия и изменения, которые существуют в Жучках и Мумках, и вносим их в наше родовое понятие собаки. Так мы замечаем, что собаки имеют разный цвет шерсти. И мы вносим в родовое понятие собаки, рассматриваемое как функция самой собаки, этот самый цвет, начинаем рассматривать понятие собаки с точки зрения цвета шерсти, т. е. начинаем делить родовое понятие собаки на виды с точки зрения того «основного деления», которое есть «цвет шерсти». Получаются собаки черные, белые, рыжие, пестрые и т. д.
Таким образом, понимание «основания деления» родового понятия как производной от этого понятия вскрывает очень сложный и глубокий процесс, возникающий во взаимоотношениях этого родового понятия с основанием деления его на виды. Процесс этот предполагает: 1) обладание уже готовым родовым понятием вещи как функцией вещи; 2) непрерывное его изменение, сопоставленное с таким же изменением вещи, или, вернее, смысловое отображение вещественных изменений в данном родовом понятии; и 3) нахождение точного принципа для этого сопоставления, для этого вещественного отображения в родовом понятии, т. е. для возникновения видов на лоне общего рода. Этой сложной картиной заменяется в инфинитезимальной логике слишком нехитрая формально–логическая теория «основания деления» понятий, состоящая из простого констатирования неизвестно откуда взявшегося «основания деления».
В школьной логике мы безоговорочно проповедуем: род делится на виды, из рода вытекают виды, виды выводятся из рода. Но как все это возможно? Ведь, строго говоря, из чистого понятия ровно ничего дедуцировать нельзя. Это—только темная и узколобая аберрация мысли думать, что из понятия вещи можно дедуцировать его виды. Из понятия дома как именно понятия совершенно невозможно дедуцировать ни понятия дворца, ни понятия лачуги, ни понятия храма, ни понятия конюшни. Если мы такую дедукцию производим, то только путем сопоставления данного понятия вещи с самой вещью, вернее, с изменением вещи, так что при этом наше понятие и оказывается охватывающим много разных видов данной вещи, т. е., попросту, делится на разные видовые понятия. И вот эту–то ценнейшую мысль для всякого реалистического понимания логики и выражает инфинитезимальное понимание «основания деления», т. е. понимание его как производной. «Основание деления» данного общего понятия действительно дедуцируется, выводится из самого понятия, есть его производная функция, но только так, что эта дедукция есть только сопоставление с соответствующей вещью как с независимым переменным, и только так, что это «основание деления» есть предел и принцип, закон для бесконечного числа непрерывно изливающихся друг в друга видовых понятий данного общего понятия.
Вот что такое производная математического анализа в ее логическом раскрытии, вот каков ее формально–логический коррелат, и вот каков должен быть принцип деления общего понятия.
Посмотрим, как тут рассуждают математики, и прежде всего обратим внимание на то, что такое тут искомое нами «общее». Не забудем, что мы здесь все время действуем в условиях бесконечного и непрерывного процесса. Мы исходим из бесконечного и непрерывного становления аргумента и устанавливаем такое же становление и зависимых от него функций. Найти здесь что–нибудь «общее» — это не значит найти какое–нибудь[205 — В рукописи: что-нибудь.] абсолютно неподвижное общее. Наше общее тоже должно находиться в становлении или по крайней мере быть принципом становления. Исходя из этой общеин–финитезимальной позиции, математики рассуждают так.
Мы брали на нашей кривой две точки ? и М’ и вычисляли связанное с этим приращение по обеим осям координат. Приращение это было — определенных размеров, конечное приращение. Но, чтобы остаться на позиции бесконечно–малых, очевидно, надо говорить о бесконечно–малых приращениях, другими словами, надо исследовать, как меняется наша кривая в отношении к абсциссе в мельчайший, в исчезающе малый момент своего протекания. Для этого надо допустить, что наш ? изменяется на бесконечно–малую величину, и тогда таким же, вообще говоря, будет и приращение у, т. е. обе наши точки сблизятся на бесконечно–малое расстояние; а секущая ММ соединявшая обе точки кривой, превратится в пределе в касательную к нашей кривой в той точке А/, которую мы оставили неподвижной и к которой приближали на бесконечно–малое расстояние другую точку кривой ?’. Стало быть, в условиях бесконечно–малых приращений аргумента и функции свидетелем поведения кривой в данной точке будет уже угол между касательной к ней в данной точке и осью абсцисс; и само отношение между этими приращениями функции и аргумента, взятое в пределе, при Ах, стремящемся к нулю, окажется тангенсом угла наклона этой касательной к оси абсцисс.
Этот новый тангенс существенно отличается от прежнего. Прежний тангенс составлялся как отношение конечных приращений. Поэтому зависимость его не была общей. Этот тангенс характеризовал наклон к оси абсцисс некоей секущей, соединявшей две определенные точки на нашей кривой, находящиеся на конечном расстоянии друг от друга. Теперешний же тангенс есть предел отношения бесконечно–малых приращений ординаты и абсциссы, предел, к которому стремится отношение приращений функции и аргумента в условиях стремления приращения аргумента к нулю. Этот «наклон» и тангенс приходится, так сказать, на каждую инфинитезимальную единицу. Это есть производная от функции, взятая по ее аргументу, которая имеет общее выражение решительно на всем непрерывном протяжении нашей кривой; она есть нечто тождественное самой себе решительно везде. Поэтому и значимость ее на этот раз уже не частная, не частичная, но—совершенно общая, и притом инфинитезимально общая. Это — вполне определенная, единственным образом выраженная функция того же аргумента jc, принимающая бесконечно разнообразные значения в связи со становлением х.
Если задаться целью понять это построение не математически, а чисто логически, то, очевидно, здесь идет речь о нахождении такой смысловой общности видовых понятий, которая уже не была бы связана со всеми случайностями применения этого понятия в данной случайной ситуации, т. е. для данного видового понятия, но которая, наоборот, везде в этих случаях оставалась бы сама собой. Эта смысловая общность, как мы выше установили по Ленину, должна быть, кроме того, законом для всего относящегося сюда индивидуального, т. е. законом отбора и распределения всякого случайного материала и превращения ею в осмысленную действительность. Полученная выше производная как предел отношения приращений функции и аргумента, или, геометрически, как тангенс угла наклона касательной данной кривой к оси абсцисс, есть, с логической точки зрения, не что иное, как принцип бесконечной и непрерывной последовательности видовых значений данного понятия, как такое общее, которое содержит в себе бесчисленное количество индивидуальных, видовых проявлений выступающего здесь существенного отражения вещи, как
