отличается дифференциал функции от соответствующего нарастания функции? Математики тут рассуждают так.

Представим дело аналитически. Будем рассуждать как обычно. Беря функцию от ?, т.е. ?(x), приращение аргумента Ах и соответствующее приращение функции, т.е. ?(х+?х)— ?(х), пишем обычное выражение производной:

Возьмем разницу между производной и этим стремящимся к ней как к пределу отношением приращений функции и аргумента.

Что такое эта разность ?? Это бесконечно–малая величина, которая переводит нас от приближенного значения к пределу. Это есть самый переход к пределу. Освобождая предыдущее выражение от знаменателя, получаем:

Но левая часть этого равенства есть не что иное, как приращение функции Ау, а первое слагаемое правой части есть не что иное, как дифференциал dy этой функции. Следовательно,

т.е. приращение функции и дифференциал функции отличаются друг от друга на бесконечно–малое высшего порядка, чем ?х.

В чем тут дело, если подойти к вопросу чисто логически? Что это за таинственная величина ? ? ?, которой только и отличается дифференциал от общего приращения? Вопрос этот также не ставился в логической литературе. Однако мы можем предложить его простейшее и яснейшее решение.

Мы уже знаем, что такое ?. Это самый переход от переменной величины, стремящейся к пределу, к самому пределу. Мы знаем также, что значит умножить. Выражаясь не математически, а образно–обывательски, это значит воспроизвести множимое методом множителя, воспроизвести одно, так сказать, в атмосфере другого, найти нечто общее между одним и другим. Такие выражения, когда они вызваны чувством (хотя и очень смутным) логической природы предмета, часто бывают для логики гораздо более ценными, чем точнейшие, но логически не осознанные и наглядно не освоенные математические формулы. Если ?х есть произвольное приращение независимого переменного, т.е. известная материальная перемена, то ? Ах есть, очевидно, некое новое понимание перехода к пределу, а именно тот предельный переход, который по качеству своему есть некое определенное материальное изменение.

Что же это такое? Производная у нас, как мы знаем, есть принцип деления понятия (скажем, «цвет» для «обоев»). Разница ? есть, очевидно, разница между «цветом вообще» и данным цветом. Тогда ? ?х есть разница между «цветом вообще» и, напр., желтым или зеленым цветом. Но ведь дифференциал понятия есть его видовое различие. Следовательно, из полученной формулы мы имеем: приращение понятия (обои) есть его видовое различие (зеленый цвет) плюс переход этого видоразличия к его предельному в данной ситуации значению. Но что же такое этот переход видоразличия к пределу? Что делается пределом для зеленого цвета обоев? Ведь оттенков зеленого цвета неисчислимое количество. И тем не менее тут они чем–то сдерживаются, тут для них есть какой–то точный и определенный принцип, есть для них точный предел. Этот предел есть, конечно, сами обои, ибо это единственная граница, за которую мы не можем выходить, если говорим о цвете именно обоев.

Но тогда получается очень простое решение вопроса о логической значимости разбираемого нами произведения. Это есть переход видоразличия к тому роду, к тому родовому понятия, которое им специфицируется. «Приращение» понятия есть не что иное, как соединение его дифференциала — видового различия — с переходом к роду, с этим самым произведением ? ?х. Другими словами, здесь перед нами не что иное, как инфинитезимальная модификация самого обыкновенного формально–логического процесса определения понятия. Понятие определяет себя тем, что оно нарастает. Определить себя—значит перейти в иное и в этом ином найти себя. Приращение функции, приращение понятия и есть не что иное, как ее определение. Но что делается при переходе в иное? Понятие прежде всего получает характеристику, противоположную себе, раз оно перешло в иное. Сами обои не есть цвет, но, переходя в иное, они становятся тем или иным цветом. Собака не есть такое–то и такое–то строение ушей и ног; но, переходя в иное, в материальное окружение, это понятие специфицируется, и для «собаки» оказывается существенной, напр., коротконогость или длинноухость. И т. д. Однако этим определение понятия, конечно, не может ограничиваться. Если бы мы остановились на этом, то вместо определения понятия мы имели бы как раз уход от определения, противоположность всякого определения, ибо само по себе взятое видоразличие «зеленый цвет» не имеет ровно никакого отношения к «обоям» или, вернее, имеет к ним такое же отношение, как и к «карандашу» или к «листьям дерева». Сама по себе «зеленость» совершенно инобы–тийна к «обоям» и нисколько их не характеризует. Чтобы «зеленость» стала существом обоев, надо в этой «зелености» найти «обои», т. е. надо, чтобы тут была «зеленость», характерная именно для обоев, а не для чего–нибудь другого. Надо, чтобы определяемое через инобытие понятие не только перешло в это инобытие, но чтобы оно и нашло себя в этом инобытии, сошлось в нем само с собою, необходимо, чтобы определяемое через инобытие понятие не только перешло в инобытие, но чтобы и это инобытие понятия перешло к самому понятию. Необходимо их равномерное и обоюдостороннее тождество. Но, когда мы от «обоев» перешли к «зелености», мы достаточно демонстрировали переход определяемого понятия в инобытие. Остается, значит, чтобы «зеленость» перешла в «обои», и тогда цель определения будет достигнута. Это и значит, что видоразличие должно перейти к роду, видоразличие понятия должно вернуться к той родовой общности, которую мы и должны были определять. Этот сложный диалектический процесс определения понятия, сводящийся, как мы видим, к отрицанию отрицания, и выражается в формальной логике, по исключении всякой процессуальное и со сведением непрерывности на неподвижно изолированные категории, так: определение понятия происходит через род и видовое различие.

Заметим, что непрерывная процессуальность сохраняется не только в этом переходе ? Ах, где оба сомножителя находятся в непрерывном изменении, но она налична и в самом дифференциале, который тоже есть произведение ?(x) ?х, где один сомножитель есть предел, т.е. указывает на бесконечное и непрерывное становление, а другой сам находится в непрерывном движении. Если вещь из желтой становится зеленой, то ее зеленый цвет есть то новое, что мы в ней находим в результате ее изменения, т.е. в результате полученного ею «приращения». И если отмечать это приращение на прямой в виде отрезка, в конечных точках которого будут находиться оба цвета, то дифференциал здесь есть та часть этого отрезка, которая ограничена с одной стороны началом изменения желтизны, а с другой стороны — концом этого изменения и переходом в зеленое. Дифференциал нашей вещи, становящейся из желтой зеленой вещью, есть этот непрерывный, состоящий из бесконечно малых нарастаний переход от зелености этой вещи к ее желтизне, переход, взятый, однако, несмотря на свою внутреннюю процессуальность, как единое и нераздельное целое. Это и есть dy, т.е. данное специфически цветовое видоизменение нашей вещи. Но ведь наша вещь не есть зеленая вообще. Обои не просто зелены, но зелены в смысле обоев. Листья дерева не есть просто зеленость вообще, но та именно зеленость, которая специфична для листвы. Значит, если желтая ягода позеленела, если желтая окраска моря (под тем или другим действием солнечных лучей) изменилась на зеленую, то это могло произойти не только потому, что здесь появилась зеленость, но еще и потому, что появилась именно ягодная зеленость, именно морская зеленость. Другими словами, тут, рассуждая теоретически, должен также произойти переход и от зелености вообще к данной специфической зелености. Это демонстрируется остальной частью нашего отрезка, символизирующего собою «приращение» вещи, это есть ? ?х.

Тут, стало быть, два предельных перехода, один — от желтизны вообще к зелености вообще и другой—от зелености вообще к данной специфической зелености. Но предельность тут дана в обоих случаях, конечно, по–разному. В первом случае был переход от одного цвета к другому, во втором же—переход внутри одного и того же цвета. Поэтому в первом случае надо было изменять саму производную от нашей вещи, т. е. вносить изменение внутри «цвета вообще» (чтобы перейти от желтизны к зелености); отсюда и математическое выражение ?(x) ?х. Во втором же случае речь уже не может идти о модификации самой производной, так как здесь вовсе не ставится вопроса о переходе одного цвета в другой. Поскольку же, однако, здесь идет речь о переходе внутри одного и того же цвета, необходимо вместо производной брать только то, чем отличается данная цветность от цветности вообще. Отсюда и ? ?? В первом случае предел находится не вне того, что стремится к пределу, а растворен в этом стремлении (ибо «цвет вообще» одинаково свойствен и желтому, и зеленому, и всем их промежуточным отрезкам). Во втором же случае предел находится вне того, что стремится к пределу (ибо «море», «листва» и пр., взятые сами по себе, не имеют никакого отношения к зелености). Но так или иначе, в разных смыслах, а все же непрерывное и бесконечное становление пронизывает здесь оба слагаемые нашего приращения, и дифференциал, и отрезок ? ? ?, т. е. и видоразличие родового понятия, и переход от этого видоразличия к самому понятию как к родовой общности.

Значит, если анализируемое нами приращение понятия есть его определение, то дифференциал этого понятия есть его видовое различие, а произведение ? Ах есть возвращение к роду, или, говоря грубо, родовой признак. И когда математики говорят, что дифференциал функции есть главная часть ее приращения, то сейчас это делается элементарно ясным и простым: видовое различие действительно есть то главное и основное, что тут «наросло» в понятии. Если из «наращения» понятия исключить всю его про–цессуальность и всю его связанность с родовой общностью понятия, то в нем единственно только и останется само видовое различие. Все это только инфинитезимальный коррелят самого обычного формально–логического правила об определении понятия через род и вид, причем мы видим, что этот коррелят гораздо ближе к диалектическому учению об определении как об отрицании отрицания, чем к формально–логическому определению через род и вид. Впрочем, единство всех этих методов определения понятия — формально–логического, диалектического и инфинитезимального — ясно из предыдущего само собой (не хватает тут только еще одного замечательного метода современной науки, именно структурного метода определения понятия, но его наше настоящее исследование не касается).

Следовательно, здесь, так же как и в категориях производной и дифференциала, надо только уметь переходить от метода конечных изоляций, практикуемого в формальной логике, к методу бесконечно–малых, и — ясность инфинитезимальной категории обеспечивается. Погрузите в сплошное и непрерывное становление и определяемое понятие, и направление (смысл) этого определения, и то, чем вам угодно будет воспользоваться на этом общем пути становления понятия. Тогда потребуется такой же непрерывный переход и от этого произвольного отрезка на общем пути становления понятия к самому понятию. Как мы поняли в виде непрерывного становления