в том целом, что называется восприятием вещи?
Я не знаю, как тут обойтись без процесса интегрирования и дифференцирования. Возводя изменения вещи к ее целому и прослеживая, как от них нарастает это целое, мы не делаем ничего другого, как просто–напросто интегрируем вещь и интегрируем наше восприятие вещи. Ведь надо же когда–нибудь гносеологу и логику всерьез обратить внимание на то, что такое, напр., длина дуги с точки зрения интегральною исчисления. Длиной дуги кривой линии называется здесь предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев этой последней бесконечно возрастает, а сами звенья бесконечно умаляются. Все наши отдельные, изолированные восприятия частей этой длины есть не что иное, как эти вот звенья ломаной, то большие, то маленькие. Как из них составить восприятие целой длины данной дуги? Только путем перехода к пределу через суммирование отдельных отрезков в условиях их бесконечного дробления. Но раз так, то что же это может значить иное, как [не] то, что восприятие длины всякой дуги есть интегрирование. А ведь мы же на каждом шагу в обыденной жизни судим о длине тех или иных кривых в тех или иных границах. Далее, разве можно в логике проходить мимо того, как интегральное исчисление понимает площади и объемы тел? О площади мы уже говорили. Но было бы так же просто рассказать и об объеме тела, как о некоторого рода интеграле. Разве это не значит, что воспринять объем тела можно только путем бессознательного интегрирования его элементов? С другой стороны, кто же не наблюдал скорость движения тела и не сравнивал проходимый им путь с этой скоростью? Кто не сравнивал скоростей двух или нескольких тел, движущихся одновременно? Чем мы занимаемся, идя по людной улице, как не тем, что все время оцениваем движение трамвая, автомашин, велосипедов, лошадей, пешеходов? А известно ли всем, кто занимается логикой, что скорость есть первая производная от пути по времени?
Мы всегда наблюдаем ускорение и замедление движения. А известно ли логикам, что ускорение есть вторая производная от пути по времени? Что же остается сказать после этого? Не то ли, что восприятие всякой скорости и ускорения есть бессознательное дифференцирование разных расстояний с точки зрения временного протекания тех или иных движений?
2. Вы «измерили» глазами какой–нибудь предмет—этот стол, этот стул, этот шкаф и т. д., — и даже не измерили, а просто взглянули на него. Что это значит? Это значит, что вы пробежали по нему глазами. Но что значит пробежать? Ваш пробег состоит из отдельных изолированных точек или не состоит? Пробежать не значит перечислить какие–то изолированные точки. Пробежать глазами и тем более просто взглянуть на предмет—это значит иметь обязательно непрерывное восприятие. Но что значит непрерывное восприятие? Это значит не что иное, как суммирование бесконечно–малых приращений. Ни в каком случае нельзя обойтись без этого. Или—прерывность, или—суммирование бесконечно–малых. Но допустим, что это есть суммирование бесконечно–малых восприятий, и больше ничего. Есть ли это восприятие нашего предмета? Ни в каком случае. Ведь мы же взглянули на шкаф, а не на что–то другое. Значит, мы не просто суммируем, но суммируем до каких–то пределов, суммируем по какому–то закону, суммируем в определенных направлениях. Итак, без суммирования бесконечно–малых ощущений нет непрерывности в восприятии нашего предмета, т. е. в этом случае он распадается на множество дискретных вещей, не имеющих одна к другой никакого отношения, а без предела нет данной и определенной вещи, а есть безграничное и бессмысленное накопление бесконечно–малых ощущений, т. е. тоже потеря предмета. В одном случае теряется его непрерывность, а в другом случае утрачивается его осмысленность как именно данного предмета. Но ведь предел суммы бесконечно–малых есть именно интеграл и достижение такого интеграла есть интегрирование. А это значит, что даже измерить данную вещь глазами, т. е. просто взглянуть на нее, — это уже значит интегрировать ее в точном математическом смысле слова.
В течение дня мы сплошь имеем дело с измерением или по крайней мере оценкой длин, площадей, поверхностей и объемов. Я сел за стол—это значит уже употребил какие–то оценки высоты стула и стола и сравнил обе эти высоты. Я взял в руки перо—это значит оценил объем пера и то расстояние, на котором оно до этого времени находилось от меня. Я встал, надел пальто и шапку, вышел на улицу и стал идти по улице—это значит, что я все время оцениваю длины тех кривых, по которым я иду, объемы тех тел, которые я нахожу на вешалке и на себя надеваю, те величины и размеры, которые я встречаю на улице (ширину тротуара, рост встречных людей, размеры витрин или дверей магазинов) и т. д. и т. д. Что такое все это? Все это есть сплошное интегрирование бесчисленного ряда[216 — В рукописи: рода.] функций, сплошное интегрирование своих ощущений.
Вы встречаете знакомого и говорите ему: «Как вы постарели!» или «Как вы помолодели!» Что это значит? Это значит прежде всего, что вы сравнили его теперешний вид с тем, что он был, напр., три года назад. За эти три года ваш знакомый постарел. Но ведь он жил, конечно, вполне непрерывно в течение этих трех лет? Совершенно верно. И вы теперь констатируете известный результат? Совершенно верно. Однако в таком случае вы, конечно, просто–напросто проинтегрировали известную функцию (т. е. вашего знакомого) в точно определенных пределах (а именно в пределах тех трех лет, в течение которых вы его не видели). Вы получили т. н. определенный интеграл.
Однако вовсе нет необходимости для подтверждения нашего ежесекундного интегрирования ссылаться на физические длины, площади, объемы или временные промежутки. Закроем глаза, заткнем уши, забудем все обоняния и осязания и погрузимся в сосредоточенное размышление, — и мы тут никуда не уйдем от ежемгновенного интегрирования. Пусть мы что–нибудь мыслим, ну, хотя бы т. н. Смутное время на Руси в начале XVII в., Наполеона, Солнечную систему, римский сенат, план новой гидростанции. Что бы мы ни мыслили, мы всегда мыслим нечто. И как бы мы это ни мыслили, мы в нем нечто различаем и это различаемое соединяем в целое. Всякое такое нечто как едино–раздельное целое не может не быть непрерывностью —уже по одному тому, что оно есть нечто и это «нечто» разлито по всем его отдельным элементам. Но что же такое целое, определенное целое, возникшее из непрерывного суммирования своих частей? Оно опять есть интеграл. Без интегрирования никуда не деться, если только брать существующее в непрерывном становлении. Только ценою устранения непрерывного становления из вещей можно обойтись без интегрирования. Но вещи, которые не становятся непрерывно, не есть реальные вещи. Это фикция, фантом, жалкая абстракция или пылкая фантазия, но не действительность.
3. С другой стороны, всякое нахождение частностей на фоне общего при условии непрерывного их возникновения, а также при условии знания способа или метода (если не закона) такого возникновения возможно только как дифференцирование. Найти производную—это и значит овладеть способом проявления вовне некоей функции в зависимости от ее непрерывного изменения. Если вы наблюдаете течение горной реки и видите, как стекающие с высоты струи воды образуют около какого–нибудь камня определенной формы водоворот, — вы бессознательно дифференцируете общую функцию потока воды по этому «аргументу», т. е. по времени протекания этого потока вокруг торчащего камня. Находясь в местности, подверженной периодическому влиянию ветров, вы, зная характер изменения ветра в известное время, несомненно, дифференцируете общую функцию ветра по времени. Так, в селении, расположенном недалеко от гор, вечером и ночью дует определенной силы ветер. Заметить и оценить это мы можем только путем дифференцирования. Когда мы говорим, пишем, ходим, работаем, даже просто слушаем, мы всегда имеем дело с некоторым непрерывным процессом и с целесообразным, закономерным получением тех или иных результатов — речи, устной и письменной, ходьбы, работы, слушания. Но тогда все это есть акты нашего бессознательного дифференцирования тех или иных функций речи, работы, ходьбы и т. д. по времени. Общий метод получения этих частных результатов на фоне непрерывного изменения той или иной функции в связи с протеканием времени и есть в данном случае производная. Так, я решил идти по улице быстро или медленно. Это значит, что я вычислил определенного рода производную (т. е. скорость) на основании общей функции своего хождения в связи с протеканием времени. Если бы балерина не дифференцировала своего движения по времени и не интегрировала бы его в течение всех моментов этого движения, танец ее не мог бы состояться и она осталась бы без движений. Впрочем, однако, и неподвижность тоже протекает во времени, и притом протекает непрерывно, так, что даже остановиться в своем движении нельзя без целого ряда актов интегрирования и дифференцирования.
4. Словом, абсолютно везде, где есть непрерывное становление (а где его нет?), мы всегда, как только раскрываем рот, чтобы нечто об этом высказать, уже дифференцируем и интегрируем, ибо везде тут мы нечто расчленяем, т. е. полагаем границы, пределы, т. е. устанавливаем законы для бесконечно–малых становлений. Наблюдая побеление на востоке при восходе солнца, мы интегрируем наше восприятие, ибо побеление, во–первых, есть непрерывный процесс, во–вторых, это есть суммирование бесконечно–малых нарастаний и, в–третьих, в нем есть определенная закономерность этого суммирования, т. е. его предел. Что же это, как не интегрирование? Софизм об Ахиллесе и черепахе только потому и обладает такой эффектной силой, что он дает нам движение вне категорий интеграла и производной. Ибо как только возникает вопрос о том, можно ли движение представлять как только состоящее из конечных отрезков, т. е. без перехода к пределу, так рушится здесь и весь софизм. Софизм об Ахиллесе и черепахе хорош как раз именно тем, что он доказывает невозможность воспринять реальное движение и скорость, а также и сравнивать скорости без.процессов дифференцирования и интегрирования.
Может ли, спросим теперь, наука о мышлении обойтись без понятия интеграла? Обойтись без этого значило бы просто исключить всякое непрерывное становление и всякий переход к пределу, т. е. заморозить, остановить, удушить всякое движение в мире и в мысли. Едва ли эта концепция может рассчитывать на успех.
Можно сказать еще и так. Традиционная логика (да и вообще логика) очень злоупотребляет анатомией мышления и очень пренебрегает его физиологией. Мудро распределить анатомические и физиологические моменты в цельном организме мышления — это дело большого искусства философствовать и строить науку, ибо организма нет ни без анатомического строения, ни без физиологических функций, ни без определенного и полного взаимоотношения того и другого. Когда школьная логика просто делит род на виды, и больше ничего,
