всяком случае какое–то другое должно необходимо быть между обеими науками.
Вот какие математические категории мы изучили в предыдущем и вот каков их перевод на язык логики.
16. ЗАКЛЮЧИТЕЛbНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
1. Мы рассмотрели самые элементарные категории математического анализа. Ясно, что дальше должны последовать и более сложные категории. Такая, напр., категория, как ряды, или такие, напр., специальные интегралы, как интегралы Эйлера или Коши, или современные интегралы Стильтьеса, Лебега и др., насколько можно предполагать, дают замечательные аналогии для логики.
Все это требует, однако, дальнейшего и очень упорного исследования.
С другой стороны, необходимо иметь в виду, что во всем нашем исследовании мы касались исключительно только логики понятия и понимали инфинитезимальные процессы только как становления внутри понятия (род, видовое различие, вид, основные деления). Еще предстоит применить метод бесконечно-малых к учению о других структурах мышления, и прежде всего к суждению, умозаключению, доказательству и науке. Кроме того, метод бесконечно-малых должен быть применен к проблеме не специально логической, но близкой к ней феноменологической, а именно к проблеме целого и частей. В предыдущем мы касались этого только случайно. Наконец, необходимо привлечь метод бесконечно-малых, и не только в чисто математическом смысле. Если понимать функцию, производную, дифференциал и интеграл не чисто количественно, но широко материально, то такой метод бесконечно–малых мы найдем очень часто даже и в таких науках, которые не имеют ничего общего с математикой и механикой. Таковы, напр., биология и история. Маркс в своем «Капитале» все время оперирует с такими понятиями, которые не застыли и не одеревенели в своей формально–логической метафизичности, но представляют собой именно переменные величины, т. е. нечто текучее и развивающееся (таковы категории продукта, товара, стоимости, цены, труда и т.д.). Изучение того, как применяется метод бесконечно–малых в нематематических науках, должно богатейшим образом расширить нашу логику и вывести ее наконец из формально· логического тупика и коснения в отрыве от реальной практики наук. Только тогда можно будет говорить о марксистско–ленинском построении логики как строгой и объективно–реальной науки, и только тогда рассуждения об отражении бытия в мышлении и о подвижности самого мышления перестанут быть пустой фразой.
2. Наше исследование, являясь пропедевтическим, дает нечто и для систематического построения логики на основах учения о бесконечно–малых, хотя и это также отнюдь не является еще нашей задачей, и, самое большее, мы хотели только подвести читателя к этому. Формулируя принципы такой системы, надо особенно хорошо помнить главную установку исследования—это исключение всякого методологического абсолютизма и одностороннего возвеличивания какого–нибудь одного метода. Как не может претендовать на абсолютное самодержавие объемная логика, так же были бы смешны всякие притязания на него и со стороны логики содержания, и со стороны логики структурной. И как ни велико значение метода бесконечно–малых, как ни является очередной задачей построение логики учения о бесконечно–малых и даже прямо инфинитезимальной логики в систематическом виде, все же отрицание и даже простое отодвигание прочих методов и систем было бы грубейшей ошибкой мысли и непростительным ретроградством в условиях современного развития логики. Никаких абсолютистских притязаний и никакой методологической исключительности ни в каком случае не может быть допущено. Но как существует самостоятельное учение о цвете и звуке, несмотря на то что всякий цвет и звук есть цвет и звук какого–нибудь тела, точно так же может быть и должна быть построена в систематическом виде логика бесконечно–малых, несмотря на то что в действительности эта логика существует только как целое вместе с другими типами логики и несмотря на то что непрерывность имеет место в своем непрерывном единстве и даже тождестве с прерывностью и скачкообразностью.
Хорошо помня эту заповедь против методологического абсолютизма, мы без вреда для дела и без всякой опасности метафизического гипостазирования можем приступить к системе логики бесконечно–малых. И мы надеемся, что под руководством марксистско–ленинской теории эта инфинитезимальная логика в своем систематическом виде будет построена у нас в ближайшем будущем.
НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РАЗМЫШЛЕНИЯ К ВОПРОСУ О ЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО-МАЛЫХ
I. ЛОГИКА ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ КАК ОТРАЖЕНИЕ СОЦИАЛbНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛbНОСТИ[219 — Работа имеет в виду лиц, незнакомых с высшей математикой.]
1. Вступительные замечания. «Теоретическое мышление каждой эпохи, — пишет Энгельс (Диал. прир. 1941, 24), — а значит и нашей эпохи, это—исторический продукт, принимающий в различные времена очень различные формы и вместе с тем очень различное содержание. Следовательно, наука о мышлении, как и всякая другая наука, есть историческая наука, но об историческом развитии человеческого мышления». «Теория законов мышления, — продолжает там же Энгельс, — не есть вовсе какая–то раз и навсегда установленная «вечная истина», как это связывает со словом «логика» философская мысль». «Знакомство с ходом исторического развития человеческого мышления, с выступавшими в различные времена воззрениями на всеобщие связи внешнего мира необходимо для теоретического естествознания потому, что оно дает масштаб для оценки выдвигаемых им самим теорий». Из этих рассуждений Энгельса с необходимостью вытекает то, что и математика вовсе не есть наука только о вечных истинах, что ее истина исторически обусловлена, исторически меняется и логика, желающая осознать основы математического мышления, должна учитывать историческо–социальные типы и стили этого мышления, чтобы не впасть в филистерство.
Тем не менее математику почти все считают чем–то временным и над–историческим. Религию, искусство, науку, философию мы умеем понимать исторически, как нечто неотъемлемо свойственное тому или иному социальному типу. Но математика мыслится нами как нечто в такой мере абсолютное, что не может подниматься никаких и вопросов о ее типах, о разной ценности этих типов и о социальных корнях каждого такого стиля. Конечно, можно и в математике дойти до таких последних абстракций, которые будут общи всем известным нам типам культуры, и на этом основании рассуждать о вечности ее положений. Но в таком же смысле и в каждом произведении науки, искусства, техники и пр. можно найти такую абстрактнейшую сторону, которая почти не меняется при переходе от одного произведения искусства к другому. Однако ни в коем случае такое знание не будет конкретным. И оно ничего не скажет нам об искусстве, как оно реально есть.
Математика—человечна, создание человеческого искусства. Она социальна, исторична. Она имеет свой стиль, стиль своей эпохи. И если до сих пор из нее старались выкинуть всякое человеческое содержание и превратить ее в максимально абстрактную и формальную науку, то это тоже было результатом определенной эпохи культуры. И эту рассудочную, абстрактную эпоху культуры мы должны уметь точно формулировать, если хотим понять истинную сущность математики. Всякий тип культуры вообще любит ставить себя в центре всей истории и свои принципы толковать как вечные. В этом, к сожалению, мы должны отказать всякому историческому стилю культуры. Общезначимость, непреложность математических положений для нас, к сожалению, уже есть не более как продукт одной весьма специфической культуры. И мы не обязаны остановить историю только на каком–нибудь одном временном ее типе.
Математику до того выпотрошили, до того лишили ее всякого ее жизненного и человеческого содержания, что теперь уже неудивительно встретить фразы вроде того, что математика не знает, что она говорит и о чем она говорит. Действительно, о чем могут говорить арифметические и аналитические операции в математике? Что такое, напр., то же сложение и вычитание, то же логарифмирование или дифференцирование? О чем говорят эти процессы? Ровно ни о чем! Вкладывайте сюда какое угодно содержание. И что именно здесь утверждается? Ровно ничего не утверждается! Это пустые слова о пустоте. Вот до чего дошло современное форм–ализирование и абстрактизация математической науки.
Единственная жизненная сфера математики — это ее техническое применение. Однако для нас это нисколько не утешительно. Если на основании какого–нибудь математического расчета строится то или иное сооружение или машина, то одно из двух. Или это сооружение и машина не есть достояние истории и не сгусток определенных социальных отношений, не есть произведение человеческого труда со всей его исторической обстановкой. Или это сооружение есть момент именно в истории, в социальной жизни есть результат, напр., определенных производственных отношений. В первом случае апелляция к технике не имеет для нас никакого значения, потому что конкретизация и жизненность математики в этом смысле есть конкретизация внутри ее самой; это просто додумывание тех же самых основ чистой математики до ее прикладных выводов, просто новая комбинация все тех же самых чистых и отвлеченных формул. Тут нет ничего принципиально нового. Прикладная математика и чистая математика — это одно и то же, две стороны одного и того же. И совсем другое в том случае, когда построенное на основе математических исчислений сооружение входит в реальную человеческую историю, есть продукт живой социальной мысли, живого человеческого труда, результат определенной исторической обстановки, и теоретико–технической, и практически–производственной, и духовно–творческой. Но тогда мало одной технической конкретизации математики. Тогда надо показать, что же именно в математике обусловило собою возможность такого сооружения или машины, с таким стилем духовной культуры и при таких производственно–технических отношениях. Тогда надо будет поставить вопрос не о техническом только приложении математики, но о ее социально–исторической значимости, о ее человеческом и культурном стиле.
Из прикладной механики мы знаем, что вращающий эффект пароходного руля пропорционален cos х–sin х, где ? есть угол с линией киля[220 — Т. е. угол наклона руля к линии киля.]. Если мы изучим теорию максимумов и минимумов в математическом анализе, то мы легко можем, напр., определить ? в условиях наибольшего эффекта пароходного руля. Что при решении подобной задачи мы как–то конкретизируем отвлеченный математический анализ и как–то приближаем его к жизни, это факт. Но как мы его здесь конкретизируем и к какой жизни приближаем? К какой угодно, но только не к социальной, не к человеческой. Из того, что пароход со своим рулем и килем существует в человеческой обстановке, нисколько не вытекает, что мы его и понимаем обязательно человечески. В человеческой обстановке существует, напр., сам организм человека, с сердцем, легкими, мозгом и пр.; и это совершенно не значит, что мы его понимаем человечески и даже вообще понимаем. До сформирования анатомии как науки люди уже жили тысячелетия и почти ничего не понимали в своем собственном организме. Точно так же и в случае с «техническим» пониманием парохода. Технически понимать что–нибудь совершенно не значит понимать исторически, социально, экономически. Мы можем иметь очень смутное представление о пароходном руле и киле и все–таки решить приведенную выше задачу. Ее можно формулировать примерно следующим образом: при каком ? получается наибольший вращающий эффект чего–нибудь, если этот вращающий эффект пропорционален величине cos х–sin ?? Таким образом, чтобы решить техническую задачу, вовсе не обязательно даже предметно ясное представление тех объектов, к которым эта
