и переменная величины есть внешнее инобытие числа и эта внешность, конечно, к тому же вполне отождествлена с непосредственно данным числом, с числом самим по себе.
Но интереснее всего то, что получается от соединения этих двух категорий—постоянной и переменной величин. Диалектический синтез всегда особенно интересен; он часто таит в себе полную неожиданность. Так, из синтезирования целого и дробного получалась (быть может, с первого взгляда довольно неожиданно) категория бесконечности. Что же получится из синтезирования постоянной и переменной величин? Какова та категория, в которой обе эти категории совпадают совершенно, точно сливаясь в полную неразличимость на фоне вполне новой и в них не содержащейся конструкции?
Такой категорией является непрерывность.
Подобно тому как бытие и небытие объединяются в становление, так и постоянная величина с переменной объединяются в непрерывной величине. Непрерывная величина, во–первых, есть нечто постоянное. В самом деле, самый смысл непрерывности заключается в том, что каждый ее момент совершенно одинаков со всяким предыдущим моментом. Непрерывная величина потому и «не прерывается», что она везде одинаковая, что она не меняется, что она всецело постоянная. Таким образом, постоянство, несомненно, входит в категорию непрерывности в качестве конститутивного момента; непрерывность без него немыслима. Однако также ясно, во–вторых, что непрерывность требует для себя и момента изменения. Это значило бы, что вся непрерывность свернулась бы в одну точку. Допустим, что в непрерывности нет изменения. В то же время, однако, в непрерывности мыслится некий процесс. Непрерывность есть именно процесс, т. е. движение, изменение; но это такой процесс, в котором все моменты процесса сливаются в одно и то же, в один и тот же момент. Если различать в каждом моменте самый факт этого момента, субстанцию, и, с другой стороны, его смысловую, идейную сторону, то необходимо сказать, что по факту, по субстанции, все эти точки абсолютно разделены, внеположены, находятся одна вне другой; с точки же зрения смысла, идеи все они суть нечто одно, совершенно одно, неразличимое тождество и единство. В этом и заключается тайна непрерывности: в ней дано фактическое движение[225 — В рукописи: уменьшение.], движение по факту, т. е. разнообразие, бесконечное фактическое разнообразие отдельных точек; и с другой стороны, тут дано полное смысловое идейное отождествление всех бесконечных точек, как бы они ни возникали и сколько бы их ни возникало.
Непрерывная величина есть тождество постоянной и переменной величин.
Непрерывность, однако, не может быть утверждаема сама по себе, без другой категории, которая с нею соотносительна. Раз мыслится непрерывность, то тем самым должна мыслиться и прерывность. Одно без другого совершенно немыслимо. Таким образом, достигнутый нами синтез непрерывности в свою очередь переходит в новый антитезис, в прерывную величину, и, следовательно, в свою очередь требует еще нового синтеза.
Синтезом прерывности и непрерывности является предел.
Предел немыслим вне понятия процесса. Предел есть то, что достигается в течение того или иного определенного процесса. Какой это процесс? Если это есть именно процесс достижения, то это достижение происходит постоянно, постепенно. Чем больше и дальше двигаемся мы в сфере этого процесса, тем ближе мы к пределу, тем больше мы его достигаем. Итак, предел есть некое движение, изменение и некий процесс.
Спросим теперь себя: какой же именно это процесс? С одной стороны, даже самое понятие предела говорит о некоей определенности и конечности. Движение происходит в определенном направлении, и оно имеет какую–нибудь определенную, конечную цель. Без этой идеи не может существовать никакого предела. Однако, с другой стороны, предел в математике не мыслится просто, как граница и конец. Этот предел в математике всегда мыслится как нечто недостижимое, хотя и конечное, как нечто притягивающее к себе издали приближенную величину, но никогда не совпадающее с этой приближенной величиной. Предел, с одной стороны, конечен, а с другой—эта его конечность никогда не может быть вполне адекватно охвачена. Как это можно совместить?
Совместить это можно только тем обычным диалектическим путем, который от бытия и небытия ведет к становлению. Необходимо, чтобы достижение конечного предела и постоянное его недостижение совместились во взаимном становлении, т. е. так, чтобы достигнутая конечность все время сдвигалась с места и заменялась другой, тоже достигнутой конечностью и чтобы бесконечное, постоянное достижение выражалось, тоже постоянно, в определенных конечных пунктах. В таком становлении мы получаем, следовательно, бесконечный ряд конечных величин, но эти конечные величины, уменьшаясь все больше и больше, приближаются к определенной величине, хотя никогда ее и не могут достигнуть. Становление, как мы видели, всегда алогично: оно неразличимо внутри себя и оно не имеет никаких точных границ и на своей периферии. В данном случае в процессе становления находится прерывность в отношении непрерывности и непрерывность в отношении прерывности. Это значит, что прерывность должна становиться непрерывностью, а непрерывность должна становиться прерывностью. Поскольку становление есть всегда постепенный процесс, постольку прерывность становится непрерывностью постепенно, сплошно, последовательно, равно как и непрерывность — прерывностью. Возможно это только так, что прерывность делается все меньше и меньше прерывистого, т. е. промежутки между прерывными моментами делаются все меньше и меньше и таким образом прерывность все больше и больше превращается в непрерывность. Точно так же и непрерывность по мере своего продвижения все больше и больше покрывается прерывными точками, и эти прерывные точки застилают ее все гуще и гуще — правда, без всякой возможности когда–нибудь достигнуть абсолютного перекрытия непрерывности прерывностью. Заметим, что становление алогично не только в том смысле, что оно неразличимо само в себе, само внутри себя, но и в том, что оно неразличимо и по своей периферии, т. е. не имеет никаких законченных границ и в этом смысле безгранично. Отсюда понятно, почему становление прерывности непрерывностью или непрерывности прерывностью никогда не может быть кончено; по самому смыслу своему оно абсолютно беспрерывно. И значит, предел, диалектически синтезирующий непрерывность и прерывность — по типу категории становления, — есть в одно и то же время и полная недостижимость для числового процесса, и выраженность, достигнутость в каждый отдельный момент этого процесса, причем эта выраженность и достигнутость бесконечно интенсифицируется, возрастает.
Предел—это та категория, которая (правда, в довольно вялом виде) применяется уже и в элементарной математике. Главное ее место, однако, в математическом анализе; и тут на ней, можно сказать, построена целая наука.
Пусть в круг вписан квадрат. Если мы удвоим количество его сторон, то площадь его, конечно, увеличится и периметр его тоже увеличится. Это удвоенное количество сторон может быть удвоено еще раз, еще раз и еще раз. Оно может быть удвоено до бесконечности. Периметр, последовательно меняющий свою форму в зависимости от количества удвоений, будет стремиться, очевидно, к окружности и в пределе совпадет с нею. Окружность, говорят, есть предел вписанных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон, равно как и предел описанных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон.
Здесь окружность есть нечто определенное и конечное; каждый многоугольник, вписанный или описанный, с любым количеством сторон, есть тоже величина определенная и конечная; но многоугольник тут дан не сам по себе, но в своем становлении (в смысле увеличения количества сторон); потому и количество сторон все время растет, по длине они делаются все меньше, и, значит, в целом же они приближаются все больше и больше к окружности; окружность для них—предел. Тут вполне отчетливо выступают две основные категории—непрерывности и прерывности и их синтетическое взаимопревращение, сплошной и бесконечный переход непрерывности в прерывность и прерывности в непрерывность.
Итак, вот диалектическая схема указываемых нами понятий: непрерывность, прерывность, предел, при этом непрерывность сама возникает как синтез постоянной и переменной величин.
5. Бесконечно–малое и бесконечно–большое. Только теперь мы можем формулировать то основное понятие, на котором строится весь математический анализ, — понятие бесконечно–малого (и, значит, бесконечно–большого). Оно возникает как напряженное, конденсированное выражение всех только что рассмотренных нами категорий.
Непрерывность (с постоянной и переменной величинами), прерывность и предел — все это, вместе взятое, может рассматриваться как нечто целое. Именно — это то, что противостоит числу, взятому в его чисто арифметическом виде, т. е. числу, взятому как непосредственное бытие. Когда мы берем числа натурального ряда и производим над ними арифметические действия, то здесь не возникает никаких сопоставлений каждого отдельного числа с тем или иным его внутренним или внешним функционированием. Произведя, напр., деление одного числа на другое, мы не ставим никаких вопросов о том, являются ли эти числа, делимое, делитель и частное, величинами постоянными, переменными, прерывными, непрерывными или предельными. Никаких таких вопросов тут совершенно не возникает. Это понятно. Все эти вопросы связаны с числом в том или ином опосредствованном виде. Когда мы говорим «5», «10», «», «3» и т. д., мы производим арифметические операции над числами в том их виде, как они и даны. Когда же мы говорим, напр., «переменная величина», то тут имеется в виду не только непосредственная значимость числа самого по себе, но еще и его определенное логическое отношение к тому фону, на котором оно дано. Тут—опосредствованная значимость числа.
Но если это так, то число арифметическое, как непосредственно значащее, число в смысле непрерывности, прерывности и предела, как опосредствованно значащее, находятся друг в отношении друга в состоянии диалектической антитезы. Если по общей диалектической схеме непосредственность признать за бытие, то опосредст–вованность необходимо будет признать за небытие, и между обеими категориями возникает диалектическое противоречие. Оно ждет разрешения и синтеза.
Что нужно для синтеза? Нужно, чтобы непосредственно значащее арифметическое число восприяло на себя категории непрерывности, прерывности и предела, т. е. чтобы оно лишилось своей стационарной значимости и проб [уд ]ило в себе эту двуплановость, требуемую данными категориями. С другой стороны, также необходимо, чтобы эти три категории воплотились на реально значащем числе, или величине, и перестали быть только отвлеченными признаками неизвестно каких величин. Этот диалектический синтез и совершается в понятии бесконечно–малого.
Самое простое математическое определение бесконечно–малого есть следующее. Бесконечно–малое есть переменная величина, имеющая своим пределом нуль. С виду простое, это определение, однако, содержит в себе немало разных подчиненных моментов, и они враздробь указаны нами в предшествующем, подготовительном изложении.
Во–первых, бесконечно–малое есть величина переменная. Одно уже это тянет за собою всю систему категорий, которую мы наметили выше. И уже один этот момент накладывает неизгладимую печать на всю изучаемую нами категорию. Бесконечно–малое—это сплошь стихия становления, изменения; тут ничто не стоит на месте, все движется и беспокойно требует расширения, углубления, распространения.
Во–вторых, бесконечно–малое есть такая переменная величина, которая имеет определенный предел. Отнюдь не всякая переменная величина имеет предел, стремится к пределу. Возьмем самую обыкновенную синусоиду. Эта равномерно вьющаяся вокруг прямой кривая никуда не стремится, ни к какому пределу не стремится, сколько
