начала ясно, что это будет совершенно иным отношением, чем то отношение, в котором находились между собой хну, когда они покоились на месте, были просто арифметическими и алгебраическими величинами и не погружались в стихию алогического становления. Рассмотрим теперь, что же это за отношение и что тут нового по сравнению со статическим значением величин.
Итак, изменяется аргумент, изменяется в зависимости от него и функция. Употребляя традиционные обозначения математического анализа, мы получим следующее. Если x —аргумент, ?х будет приращением аргумента x. В зависимости от этого функция у тоже будет нарастать; обозначим приращение функции через ?у. Чтобы узнать, какой вид примет наращение функции, возьмем приращенную функцию ?(x+?x) и вычтем из нее первоначальную функцию y=?(x). Получаем: ?(x+?x) — ?(x). Это есть то наращение, которое происходит в функции, когда получается наращение аргумента ?х Следовательно, если
y=?(x)
ТО
?y=?(x+?x) — ?(x)
и, беря отношение обеих частей этого равенства к ??, мы получаем
Это и есть математческое выражение того нового отношения, в которое вступают ? и у, когда они берутся не сами по себе, не статически, но когда они погружаются в процесс становления, т. е. начинают нарастать или убывать. Это рассуждение (и обозначение) обычно еще не вполне достаточно, и требуется его существенно дополнить в одном пункте.
Именно, нас ведь интересуют не приращения вообще, но бесконечно–малые приращения и не процесс вообще, но именно алогическое становление. Мы раньше уже видели, что в понятии бесконечно–малого дано не просто изменение величины, но изменение самого изменения, становление изменения, почему оно не просто налично тут как таковое, но оно дает все меньшие и меньшие результаты, оно все меньше и меньше оказывается изменением. Сама категория изменения тут, очевидно, вовлечена в становление.
И только при этом условии переменная величина может быть бесконечно–малой. Она должна иметь своим пределом нуль—только тогда она действительно бесконечно мала.
Применяя это к нашему рассуждению, мы должны ?х считать бесконечно–малым. ?х должно стремиться к нулю, оно должно иметь своим пределом нуль. Но тогда существенно меняется вся картина выставленного выше отношения . Именно, Ах становится все меньше и меньше. Соответственно и ?у должно становиться все меньше и меньше. Чтобы конкретно представить себе новые значения аргумента ? в связи с уменьшающимся приращением ?х, вычислим соответственно новые значения функции, уменьшающиеся приращения функции, а также и отношение мы получим примерно след. табличку.
Пусть у нас имеется функция
у = х+ 1
и пусть начальное значение x: будет 3. Тогда начальное значение у=3+1 = 10. Возьмем теперь какое–нибудь новое значение x, напр. 4, тогда y =4+1 = 17. В первом случае приращение будет
?.? = 4 — 3 = 1,
во втором случае приращение будет
?у— 17— 10 = 7.
Следовательно, = =7.
Будем теперь постепенно уменьшать ?x, придавая ему значения 0,9; 0,8; 0,7 и т. д. Соответственно будет меняться ? и также у, а стало быть, и . Мы действительно видим, что принимает все меньшие и меньшие значения: 7; 6,9; 6,8; 6,7 и т. д. Спрашивается: до каких же пор будет это отношение уменьшаться? ?х стремится к нулю. К чему же стремится ?
Чтобы ответить на этот вопрос, представим вышеприведенное выражение — при помощи данной формулы у=? +1. Именно, взявши приращенную функцию, получаем:
у+?у=(х+?х)+1 = ? + 2???+(??) +1,
?у = х + 2х?х + (?х)+1—(х +1) =
=?+2???+(??)+1 — ? 1 = 2х ?х+(?х).
Следовательно,
Итак, чтобы судить о том, к чему стремится, достаточно полученное выражение 2х+?х взять в пределе, т. е. в условии стремления ?х к нулю. Очевидно, если Ах стремится к нулю, то стремится к 2х, так как ?х, как стремящееся к нулю, стремится просто отпасть. Значит, если начальное значение аргумента ? у нас было 3, то предел отношения будет равен, очевидно, 2–3 = 6.
И действительно, просматривая в нашей табличке значения , мы видим, что оно постепенно уменьшается, но не становится меньше 6. Если бы мы взяли, напр., ?х = 0,001, то, как показывает вычисление, оказалось бы равным 6,001. Легко проверить это, подставляя все меньшие и меньшие ?х и получая отсюда все меньшие и меньшие , но не становящиеся меньше 6. 6—это предел, ?? к которому стремится если брать функцию у=х+1 при начальном значении х=3.
На этом простейшем примере отчетливо видно, какую форму приобретает взаимоотношение ? и у, когда оно начинает действовать не само по себе, но в своем инобытии, в своем становлении, когда они сплошно и неизменно растут или вообще меняются.
Предел этого отношения , когда ?х стремится к нулю, и есть производная, т. е. функция, «произведенная» от у, которую называют первообразной функцией. Следовательно, производная данной функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда это приращение аргумента стремится к нулю как к своему пределу.
Не будем забиваться в абстрактные дебри, как это любят делать математики, давая это понятие в дифференциальном и интегральном исчислении. Также недостаточны для понимания производной и те геометрические и механические привнесения и толкования, которыми математики уснащают свои руководства, думая на них конкретизировать это отвлеченное понятие. Надо, однако, еще до этих применений и толкований научиться понимать эту замечательную категорию, понимать всю ее жизненную и, следовательно, философскую конкретность.
Что такое производная? Для понимания этой основной категории математического анализа надо с максимальной отчетливостью представить себе разницу между бытием и инобытием или, точнее, между бытием и становлением. Если эта разница усвоена нами с достаточной отчетливостью, тогда необходимо достигнуть четкости еще в представлении того, как совершается стремление к пределу. Если эти две вещи усвоены, то логический состав производной будет ясен сам собой.
Что такое становление? Его удобно можно обрисовать путем противопоставления голому бытию (или голой идее[228 — В рукописи: идеи.]), по сравнению с чем оно действительно есть резкая противоположность. Бытие есть прежде всего нечто оформленное и устойчивое; становление бесформенно стремится вперед. Бытие — царство раздельности, координированности; становление же есть алогический процесс, в котором все отдельные моменты сливаются в одну неразличимую непрерывность. Арифметика оперирует с числами вне всякой их процессуальности. Для нее они — вечные, незыблемые идеи, предстоящие в виде некоей картины, и считающий только выбирает из этой картины то одни числа, то другие. Алгебра и элементарная геометрия, не оперируя с арифметическими числами, все же, вполне на манер арифметики, оперируют со своими величинами опять–таки чисто статически. И только в анализе дана чистая стихия становления, чистое алогическое становление, в котором тонет всякая раздельность, затухает всякое оформление и совершается уход в бесконечную даль, к неохватным горизонтам.
Идеи, числа, вещи, взятые как неподвижные, статические, вечные структуры, предстоят как определенным образом связанные между собой, предстоят в некоем конкретном взаимоотношении. Будучи же погружены в стихию становления, они в корне меняют свое взаимоотношение; оно становится неузнаваемым, хотя мы и должны уметь выводить это их алогически–становя–щееся взаимоотношение из их логически–неподвижного взаимоотношения. Вещи, идеи, числа—все, что мыслится и существует, — одним образом взаимосоотносится, когда берется в чистом и непосредственном виде, и совершенно другим способом взаимосоотносится, когда уходит в алогическое становление и растворяется в нем. Итак, это первое и самое главное в производной: производная есть взаимоотношение величин, перешедших в алогическое становление.
Второе, очень важное обстоятельство заключается в том, что производная содержит в своем логическом составе момент предела. Что такое предел, об этом уже говорилось выше. Однако ни на минуту нельзя упускать из виду всего своеобразия этой богатой категории — предела и надо уметь учитывать его в общем логическом составе производной. Схематически эту ситуацию можно представить так.
Аргумент х, погрузившись в становление, меняется, движется — в бесконечность.
Зависящая от него функция у, погрузившись в становление, тоже все время меняется, движется—до бесконечности.
Теперь, отношение между этими двумя, бесконечно становящимися величинами есть тоже величина переменная; оно тоже все время меняется, движется и—тоже до бесконечности. Это очень важно все время учитывать и иметь в виду. Производная все время меняется, движется, становится. Производная тоже пребывает в становлении, она в каждый новый момент взаимоотношения становящегося аргумента и функции—все новая и новая, все иная и иная. Но только это становление производной не какое–то вообще, а вполне определенное, так как ведь и аргумент, и функция есть тоже вполне конкретная определенность и таковыми они и вступают в стихию становления. Но какая же может быть определенность в становящейся величине? Определенность становления аргумента ? продиктована самим аргументом л:; она выражается через х+Ах. Определенность становления функции у опять–таки продиктована определенностью самой функции; эту нарушенную функцию мы найдем в выражении у + Ау. Но от чего зависит определенность становления производной? Она ведь потому–то и называется производной, что она не самостоятельна, а всецело зависит от поведения в инобытии аргумента ? и функции у. Вот предел, к которому стремится , и есть то, что дает производной определенность и указывает на ее определенную закономерность. Отдельные с этой точки зрения еще не есть сама производная, а как бы только подготавливают ее, стремятся к ней. В настоящем смысле производная возникает только тогда, когда все эти отдельные получают особую структуру, как некий ряд, как некая последовательность. Это и совершается тогда, когда ряд этот получает предел. И производная, находя в каждом отдельном свое приближенное выражение, оказывается в точном смысле производной именно тогда, когда она есть предел этого отношения .
С этой точки зрения производную необходимо понимать как закон инобытия идеальной взаимозависимости. Когда дана функция сама по себе, y=?(х), и не ставится никакого вопроса о становлении л: и у, то все действия происходят тут в области чисто идеальной, неподвижно идеальной. Когда ? и у перешли в становление, они вышли за свои собственные границы и перешли из своего бытия в свое инобытие. Какой же закон существования этой идеальной взаимозависимости, когда она перешла в свое инобытие? Ответ: этот закон существования идеальной взаимозависимости в инобытии к себе самой есть производная. По ней мы видим, как ведут себя идеальные вещи в инобытийно–реальном становлении и какова структура и внутренняя связь, царящая в этом инобытийном поведении.
Здесь перед нами еще раз появляется воочию тайна западноевропейского мироощущения, покинувшего идеальную действительность абсолютов и погрузившегося в непроглядную тьму становления и вечных исканий. Когда действительность мыслилась и переживалась в своей абсолютно–объективной, личностно–самостоя–тельной субстанциальности, тогда не было особенных причин уходить в становление, а были все причины пребывать в собранном и целомудренно–уравновешенном состоянии. Когда же все объективное бытие было зачеркнуто и человеческий субъект стал усиливаться в самом себе и притом из самого себя исходить все быстрее, тогда, по невозможности физически обнять бесконечную вселенную, волей–неволей пришлось устремиться в вечное искательство и
