самотождественного различия в математической теории вероятностей. Нетрудно сообразить по аналогии с этой же аксиомой в арифметике (§ 45), что вероятность есть прежде всего некая совокупность изоли–рованых моментов. Однако эта совокупность здесь вполне специфична. Она есть, как мы только что видели, отношение количества случаев, благоприятствующих событию А, к количеству всех равновозможпых, несовместимых и единственных случаев вообще. Вот это отношение здесь и рассматривается. В арифметике числа строятся так, что они сравнимы между собою и определяют друг друга, так что если есть а и есть А, то есть и с, которое есть их сумма. Также если есть с, то в нем всегда можно отличить одно от другого и найти такое а и такое Ъ, что их сумма как раз будет равняться с. То же самое мы находим в теории вероятностей. Если мы знаем, например, вероятность рождения детей вообще (в данной стране за данный промежуток времени), то мы можем сказать, что вероятность рождения мальчиков меньше вероятности рождения детей вообще и что последняя получится, если к этой вероятности мы прибавим еще вероятность рождения девочек. Отсюда и аксиома.
Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей: математическая вероятность события есть отношение количества случаев, ему благоприятствующих, к числу всех единственно и равновозможных, несовместимых случаев, причем вероятность частного случая события меньше, чем вероятность события вообще, и предполагает соответствующее дополнение до нее.
9. Очень важно отметить, что те, кто занимаются аксиоматикой теории вероятностей, также сталкиваются с подобными постулатами. Я укажу на С. Н. Бернштей–на, который счел нужным[26 — См. его «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей» в «Сообщениях Харьковского математич. общества» за 1917 г. и в общем курсе «Теории вероятностей». М.; Л., 1934. II.] ввести здесь в качестве первейшей аксиомы т. н. аксиому сравнения вероятностей. Он формулирует ее так: «Если а есть вид (частный случай в узком смысле слова) события А, то вер. а<вер. А; обратно, если между вероятностями фактов ? и А существует неравенство вер. ? <вер. А, то оно означает, что вер. ? ?, где а есть некоторый вид события А». С. Н. Бернштейн называет это аксиомой сравнения. Ее можно было бы назвать самыми разнообразными словами (например, по Гильберту, это была бы «аксиома связи» или «аксиома сочетания»). Мы же можем сказать только то, что единственное обстоятельство, выдвигаемое здесь, есть необходимость различения внутри данной вероятности большего или меньшего и их складывания в одну данную вероятность. Но это есть только результат функционирования категории самотождественного различия. Аксиома эта почти не требует никаких пояснений. Само собою, конечно, разумеется, что вероятность рождения мальчиков меньше вероятности рождения детей вообще. Это первая часть аксиомы. Вторая часть гласит о том, что если вероятность смерти в течение года больше, чем смерти в течение месяца, то мы можем вычислить вероятность смерти и для более специфического случая, например для смерти 70–летнего по сравнению со смертью 20–летнего. Оказывается, что вероятность старику умереть в течение (примерно) трех недель та же, что и вероятность молодому человеку умереть в течение года. Следовательно, чтобы из первой вероятности получить вторую, надо ее соответственно восполнить. II. ПОДВИЖНОЙ покой § 50. Аксиома подвижного покоя в арифметике. Переходим ко второй большой составной категории в области идеальной структуры числа, к подвижному покою. Применить эту категорию к изученным нами областям математического предмета будет теперь легче, поскольку мы более или менее освоились со смысловым своеобразием каждой из этих областей и на большом примере уже могли почувствовать их диалектическое место. 1. Самотождественное различие давало нам в применении к числу совокупность, которая складывалась из элементов. Совокупность и была самотождественным различием этих элементов. Теперь, применяя категорию подвижного покоя, мы получим, очевидно, тоже совокупность элементов, но не в их самотождественном различии, а в их подвижном покое. Если числовая совокупность действительно подчинена категории подвижного покоя, то это значит, что каждый элемент ее движется к другому элементу и ко всему целому и успокаивается на другом элементе и на всем целом. Раньше мы натолкнулись на совокупность как на систему различных моментов, натолкнулись на само различие моментов и на их тождество с целым. Но мы не знали, можно ли перейти от одного момента к другому, и брали многоразличность внутри совокупности как данную, как мертвую, как утвержденную неизвестно кем и как. Сейчас мы видим, что элементы не просто различны, но что при всем их различии можно перейти от одного к другому и что каждый элемент именно требует такого перехода. Но что значит, что элемент требует перехода от себя к следующему? Это значит, что всем элементам свойственна некая упорядоченная система, свойственна идея порядка. Если я должен от А перейти к В и этого требует само А, это значит, что А и В определенным образом взаимно расположены, что существует некий порядок, заставляющий А идти именно к 2?, а не к С и не к ?> и т. п. Совокупность элементов, воплощающая на себе категорию подвижного покоя, есть, стало быть, уже не «самотождественная совокупность изолированных элементов», но «совокупность определенно взаимно расположенных элементов». Взаимное расположение, определенным образом данное, и есть, с одной стороны, движение, поскольку каждый элемент, находящийся тут во взаимном расположении, уже сам по себе требует перехода к соответствующему новому элементу, а с другой стороны, это есть и покой, так как взаиморасположение элементов есть нечто вполне устойчивое и нисколько не текучее.
2. Укажем теперь результаты применения категории подвижного покоя в отдельных областях. Что тут получается для арифметического числа? После данной выше характеристики интенсивного числа вообще в отличие от экстенсивного мы теперь гораздо легче и с большей уверенностью можем высказать относящиеся сюда термины и конструкции.
Арифметическое число чисто от всякой числовой ино–бытийности. Оно, говорили мы, нулевым образом инобытийно, инобытийно–нулевое число. Это значит, что в нем действует его чистая и ровно ничем не замутненная, именно его собственная смысловая значимость. Единица есть единица, и двойка есть двойка — так это и остается в арифметическом числе, в то время как, например, в геометрии единица сама по себе совершенно ничего не дает в смысле геометрии, а надо, чтобы единица была еще раз положена, и положена на другом, не на числовом, а на инобытийно–числовом, пространственном фоне, т. е. чтобы эта единица превратилась в точку. Ничего подобного нет в арифметике. Там ни единица, ни другое число не переходят ни во что инобытийно–числовое, а остаются в своей чисто смысловой значимости. Когда мы говорим о порядке, то, очевидно, здесь тоже не должно быть иначе.
В арифметическом числе порядок единиц должен быть инобытийно–ну левым, т. е. он должен быть продиктован только самой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное расположение чисел должны тут вытекать из значения самих чисел, а не от того «фона», на котором они даются, не от тех различных «расстояний» и «направлений», которые могут быть продиктованы этим «фоном». Тут только одно и есть «расстояние» между единицами— это просто перечисление единиц по их количественному значению: 1, 2, 3, 4… и т. д.; и тут одно только и есть «направление» — это то, которое определено значением самих чисел (в данном случае возрастание). Лучше же сказать, арифметические числа никаких совершенно не имеют междуединичных расстояний и этим единицам ровно никакое направление не присуще. Это нулевые расстояния и нулевые направления. Это чисто смысловая, т. е. чисто количественная, взаимораспределенность и чисто количественная направленность.
Аксиома подвижного покоя в арифметике: арифметическое число есть совокупность определенным образом взаимно расположенных элементов.
Так как эта аксиома не содержит никакого указания моментов числового инобытия, то, следовательно, понимать такую формулировку можно только неинобы–тийно, т. е. только в смысле чисто количественной значимости. Можно, конечно, и отметить эту нулевую ино–бытийность. Тогда пришлось бы добавить несколько слов вроде «при их чисто смысловом расположении», или «при их чисто смысловой значимости», или «когда это расположение определено только смыслом самих элементов» и т. п.
3. Из распространенных аксиом арифметики сюда подойдут, очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо брать не все ввиду их неравномерной значимости, а только некоторые. Очевидно, сюда целиком подойдет аксиома: «Если а и b суть какие–либо два различных числа, то всегда одно из них больше другого, т. е. всегда а>Ъ и b<а». Отсюда вытекают (но отнюдь не равносильны первой аксиоме) и другие: «Если а>b и А > с, то а>с»; «Если а>b, то всегда также а+с>b+с»; и наконец: «Если а>b и с> О, то всегда также ас>bс». Преследуя аксиоматическую общность изложения, можно и не касаться грех последних положений и ограничиться только первым об а>b и b<а. § 51. Аксиома подвижного покоя в геометрии. 1. Без труда формулируется та же аксиома для геометрии, поскольку здесь мы находимся в области инобытия числа, и категория подвижного покоя будет дана в своем инобытии. Это значит, что движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из которых состоит чистое число, но между моментами инобытийными, т. е. пространственными, и покой будет мыслиться не в недрах самого числа, а среди инобытийно–числовых, пространственных моментов. Как в предыдущей категории различие дало различие не просто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось не тождеством вообще, но пространственным тождеством точек, т. е. линией, плоскостью и телом, так и здесь мы должны оперировать с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от одной точки переходить к другой, наблюдая, что получается в результате этого движения и этого покоя. Пусть мы двигаемся по линии от точки А к точке В. Чтобы показать, что мы именно движемся от А к В и что, придя в 5, мы именно остановились, для этого, очевидно, нужно, чтобы мы имели не просто голые и изолированные точки А и В взятые сами по себе, но в каком–то их специфическом взаимоотношении. Нужно, чтобы А уже сама по себе указывала бы на В, ? В сама по себе указывала бы на А. Другими словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна идея порядка, чтобы от А мы шли бы действительно кВи чтобы в таком случае и от В шли бы к А. Легче, однако, это демонстрировать на трех точках, потому что при существовании только двух точек еще есть возможность двигаться в обратную сторону. Когда же мы имеем на одной прямой три точки А, В, С и движемся от А в направлении к С, то тут уже во всяком случае нам придется пройти через точку В.
