оно не может просто уничтожиться; диалектика требует, чтобы оно в этом новом синтезе и тождестве, в этом новом пространственно–выразительном символе оставалось самим собой. Это значит, что оно здесь абсолютно безразлично в себе и не занято никакой едино–раздельностью, как и полагается чистому меону. А это значил, что точке безразлично, в каком направлении двигаться, когда она переходит в становление; она всегда и при всяком случае остается самой собой, т. е. всегда сама тождественно находит себя в становлении, но уход в становление, т. е. от себя, тождествен возвращению из становления, т. е. к себе. Это значит, наконец, что она движется по замкнутой линии.
Итак, идеальность инобытия заставляет точку сразу быть во всех моментах своего пути одновременно, а инобы–тийность идеального заставляет точку иметь этот путь в виде замкнутой линии (скажем, окружности). Выразительная точка, следовательно, есть окружность, во всех моментах которой точка пребывает одновременно и неизменно.
Этот совершенно понятный язык можно пояснить еще и так. Идеальное — вневременно и внепроцессуально. Но оно может отождествляться с реальным. В таком случае оно охватывает все реальное, двигаясь по нему с бесконечной скоростью. Когда точка движется по своему пути с бесконечной скоростью, она сразу и одновременно находится во всех без исключения точках своего пути. Это и значит, что она сохранила в реальном свою идеальность. Выразительная точка поэтому тождественна с бесконечно большой окружностью, которая, однако, пройдена вся сразу в одно бесконечно малое мгновение.
c) Но и этого мало. Наша идеальная точка двигалась в определенном направлении, чтобы воплотиться в становление. Скажем для простоты, что это было горизонтальное направление. Но выбор этого направления,•конечно, вполне условен. Становление точки совершается не только в горизонтальном направлении, но и, например, в вертикальном, и притом вполне одновременно с горизонтальным. Так как идеальное внепространственно, то оно не зависит и от направлений в пространстве, т.е. оно одновременно и совершенно в одинаковом смысле воплощается и становится сразу во всех направлениях пространства. Следовательно, наша точка сразу и одновременно описывает в одно мгновение бесконечно большую окружность и вправо, и влево, и вверх, и вниз, и во всех промежуточных направлениях, различие которых исчеза–юще мало. Наша точка есть некий фонтан бытия, бегущий сразу во все направления пространства, которые только можно себе представить. Она сразу пробегает всю бесконечность во всех направлениях и мгновенно возвращается к себе. Ей все равно, куда двигаться. Когда она движется налево, это все равно, что ей двигаться направо. Удаляясь от себя налево, она этим самым приближается к себе справа, и, двигаясь от себя вверх, она тем самым спешит к себе снизу. Такова эта сокровенная мысль круга. Удаляться от себя — значит приближаться к себе, и стремиться к себе — значит уходить от себя. Куда бы мы ни двигались, мы все равно приходим к себе, или, что то же, к иному. Но и самый момент начала движения абсолютно совпадает с моментом конца движения, так что не только безразлично, куда двигаться, но и безразлично, двигаться ли вообще.
В этом образе выразительной точки лучше всего можно проверить неизбежность всех основных диалектических категорий идеального: бытия, инобытия, различия, тождества, движения и покоя. Таково идеальное вообще, выраженное здесь геометрически.
d) Теперь не удивляйтесь, если я скажу, что этот бегло намеченный нами образ выраженной точки и есть не что иное, как пространство Римана.
Когда стараешься вникнуть в эти многочисленные изложения геометрии Римана, поражает одна яркая антитеза— неумолимая строгость всего вывода и чудовищность, с обычной точки зрения, всех получаемых результатов. Чтобы понять философскую сущность пространства Римана, приходится разыскивать его зерно, его душу, его перво–принцип, а это–то и трудно уловить за бесконечными и чудовищными нагромождениями. Сами математики мало этому помогают. Тончайший и глубочайший вопрос о смысловом содержании пространства Римана они почти всегда подменяют вульгарным и матерым вопросом о его «реальности». Еще неизвестно как следует, в чем дело и что это за тайна — эллиптическо–сферическое пространство Римана, а уже решается вопрос, реально ли это пространство. И тут, как всегда, целый букет разнообразных вкусов и капризов. Одним хочется, чтобы оно было; другим хочется, чтобы его не было; третьи — и нашим, и вашим; и т. д. Мы отбрасываем весь этот «кабинет любомудрия» и попробуем вникнуть в самое смысловое содержание пространства Римана и неэвклидовых пространств вообще.
5. а) Для нашего исследования очень малую роль играют аналитические рассуждения. Как ни просто, ясно и прекрасно мероопределение Кэли — Клейна, оно нам почти ничего не дает для философского истолкования неэвклидовых пространств. Этот множитель К в определении расстояния, принимающий разное значение для пространств Эвклида, Лобачевского и Римана и связанный с т. н. кривизной пространства, уже предполагает некую интуицию, которую приходится заимствовать из каких–то других источников. Больше дает нам выяснение отношения указанных трех пространств к пространству проективному. Уже в § [63 ] мы видели, как разные типы геометрии получаются при помощи усложнения проективной геометрии. Виды геометрии, рассматриваемые у нас сейчас, также без особого труда выводимы из проективной геометрии. Но и этот метод все еще недостаточно интуитивен и все еще слишком сложен для того непосредственного ощущения, которое должно лежать в основе всякого философского заключения.
Остается один способ — это попробовать использовать обе основные неэвклидовы геометрии эвклидовски–ми методами. Нельзя ли в «нашем», «обычном» пространстве найти такие формы, которые бы в той или иной форме символизировали собою эти чудовищные (на первый взгляд) нагромождения неэвклидовых пространств? Такие попытки были предприняты крупнейшими математиками, Пуанкаре и Клейном, а в простейшей и наглядной форме это изложено у И. Вельштейна в его «Основаниях геометрии». И в этом — якорь нашего философского спасения. Не будь этой эвклидовской интерпретации неэвклидовых пространств, философская сущность последних была бы недостижима и теперь, через сто лет после открытия неэвклидовой геометрии, как она была неясна и тогда[75 — H. Poincare. Theorie des groupes fuchsiens.— Acta mathem. 1882. I; Он же. Memoire sur les groupes kleineens.—Там же. 1893. Ill; F. Klein. Nicht-Eukleidische Geometrie; H. Weber и У. Wellstein. Энциклопедия элементарной математики, т. II, кн. 1-я /Пер. под ред. В. Кагана. Одесса, 1909 (ценные примечания редактора перевода); В. Каган. Основания геометрии. Т. II // Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии. Одесса, 1907.].
Для уловления этого изначального символа эллиптического пространства рассмотрим сначала понятие т. н. связки.
b) Формулируем сначала ряд несложных геометрических понятий.
Степенью точки относительно данной окружности называется произведение всей секущей, проходящей (рис. I)[76 — На полях рукописи карандашом: Wsb.— Wfellst. стр. 65.] через эту точку, на ее внешний отрезок. Это величина постоянная для данной окружности и точки и равняется квадрату касательной к данной окружности из этой точки. В случае, когда эта точка находится внутри окружности, степень равняется квадрату полухорды, перпендикулярной к прямой, соединяющей ее с центром окружности. В первом случае оба отрезка секущей всегда расположены по одну сторону точки (будем называть ее О), во втором случае — по разные стороны. Отсюда в первом случае степень считают положительной, во втором же—отрицательной. Если точка О лежит на окружности, то ясно, что степень ее равна нулю. Точки, обладающие одной и той же степенью относительно нескольких окружностей, расположенных в одной плоскости, лежат на одной прямой, перпендикулярной к их линии центров и называемой радикальной осью данных окружностей. В различных точках этой оси степень точки относительно данных окружностей, конечно, разная. Точка пересечения этих осей называется радикальным центром.
Окружности, расположенные в одной плоскости и имеющие общую радикальную ось, образуют пучок окружностей. Эти окружности по числу общих точек образуют три группы[77 — В рукописи: точки.] пучков: 1) параболический пучок, в котором окружности имеют только одну общую точку (рис. 2), 2) эллиптический, когда (рис. 3) их две и 3) гиперболический, когда их ни одной (рис. 4). В первом случае радикальная ось {а) проходит/ через общую точку, т. е. точку касания всех окружностей, во втором — она внутри окружностей (АА) и в третьем — она вне их (а’). Легко доказывается из рис. 4, что линия центров эллиптического пучка есть радикальная ось гиперболического пучка, а радикальная ось эллиптического есть линия центров гиперболического и окружности обоих пучков пересекаются ортогонально.
Совокупность окружностей на плоскости, относительно которых какая–нибудь точка О имеет одну и ту же» степень, называется связкой окружностей. Связки тоже бывают трех типов с теми же названиями, что и у пучков, в зависимости от того, имеет ли общий радикальный центр положительную или отрицательную степень относительно окружностей связки или окружности, проходя через одну и ту же точку плоскости, определяют для нее и одну и ту же нулевую степень. Связку можно определить и иначе. Имея в виду, например, что в гиперболической связке значение степени есть (+р) и что окружность с центром О и радиусом ? ортогонально пересекает все окружности связки, можно сказать и так: связка окружностей есть такая совокупность окружностей, которые пересекают данную окружность ортогонально. Поскольку в эллиптической связке общий радикальный центр имеет степень (— р) относительно всех окружностей связки, диаметральная окружность эллиптической связки относится к самой связке, в то время как в гиперболической она — вне ее. Точки пересечения всех окружностей связки могут быть расположены и на самой диаметральной окружности, как это видно на рис. 5[78 — На полях рукописи карандашом: W;b.— Wfellst. 65 стр. рис. 29.].
Наконец, необходимо иметь в виду и пространственные отношения. Пучок окружностей, вращаясь вокруг линии центров, образует пучок сфер, т. е. совокупность сфер, имеющих общую радикальную плоскость. Если же окружности связки вращаются каждая вокруг своего центра, то получается связка сфер, совокупность сфер, имеющих общую радикальную ось. Совокупность же сфер, относительно которых некая точка О имеет одну и ту же степень, называется сетью сфер.
В случае связки окружностей каждая прямая, проходящая через точку О, пересекает каждую окружность связки в двух точках, в т. н. паре точек связки. Соответственно и в сферической сети — пара точек сети. Эти точки — взаимообразные, потому что они получаются одна из другой путем аналогичного преобразования.
с) Все эти установки дают нам в руки весьма тонкий инструмент для уловления философской сущности неэвклидовой геометрии. Попробуем представить себе, что в эллиптической связке пара точек в инверсии сети является одной точкой. Другими словами, представим себе, что точки Q и Q (рис. 4) пересечения всех окружностей (и сфер) связки есть одна и та же точка. Представить это, может быть, и не так легко. Но вспомним, что мы говорили выше. Точка на данной ступени диалектического развития геометрии должна мыслиться не
