другой стороны, это совсем не то, что буквы в алгебре. Буквы в алгебре сами по себе не имеют непосредственного значения. Непосредственное значение имеют только арифметически понимаемые числа и действия; в алгебре же—опосредствованное значение чисел и действие чисто символическое или, вернее, вообще сигнификативное: направление в этом смысле вполне непосредственно. Будучи по природе инобытием, оно, однако, оказывается только такой же непосредственностью, как и сама сущность. Направление есть переход сущности в инобытие, в явление, в изменчивость, но оно не косвенно и не изменчиво, не инобытийно в смысле опосредст–вованности и символичности, но вполне самостоятельно, непосредственно, постоянно и определенно.
Таким образом, число в направлении осуществлено инобытийно наподобие того, как аргумент в функции осуществлен инобытийно, а функция в направлении осмыслена путем перехода в неизменную сущность и получения старым «аргументом» непосредственности и самостоятельности. Направление, кроме того, берется не само по себе, но как момент вектора. Вектор есть не только направление, но и количественно данная величина того, что направлено. Этим подчеркивается как участие арифметического принципа числа, так и участие инобытия, в котором этот принцип осуществлен.
[d ]) Итак, векторное исчисление вместе с его усложнением— тензорным исчислением есть наука, вырастающая на действительности числа. Наивысшей конкретизации векторно–тензорное исчисление достигает в конструкции векторно–тензорного поля, где число получает, с одной стороны, особого рода гистологическую, а с другой стороны, социальную структуру. Вместе с введением кватернионов получается наивысшая фигурно–телесная и выразительная структура числа, ставшего как бы живым социальным телом, последней формой конкретизации, на которую способно число в себе.
7. а) Итак, число–сущность, число–явление и число–действительность, если ограничиться сферой вообще числа в себе, есть не что иное, как число арифметическое, число становящееся (или аналитическое, как ниже увидим, — бесконечно–малая величина) и число направленное (вектор). Это и есть наше основное деление всей сферы интенсивного числа вообще. Что же касается развитого выше понятия функции, то ясно, что антитеза непосредственной и функциональной значимости числа войдет в каждую из намеченных трех основных областей интенсивного числа, находя каждый раз свои эмпирические синтезы и дальнейшую эволюцию этих синтезов. В частности, то, что называется обычно алгеброй, т. е. учением, связанным с функциями постоянных величин, войдет, очевидно, в первую из указанных трех областей, где эта алгебра, противопоставляясь арифметике, будет синтезирована в дисциплины, предполагающие одинаковое участие как арифметики, так и алгебры. Это то, что вообще можно было бы назвать алгебраической арифметикой или арифметической алгеброй, куда войдут такие, напр., учения, как учение о формах, теория инвариантов и др.
b) Обратим в дополнение еще внимание на некоторые терминологические моменты.
Хотя и вполне понятно именование числа в случае тезиса числа в себе как положенного и хотя вполне правильно, что тут перед нами именно бытие числа, — целесообразно, имея в виду масштаб всего исследования, называть эту начальную диалектическую ступень числа не бытием. Ведь к понятию числа вообще мы теперь уже не вернемся и будем считать его вполне понятным и проанализированным. А то, что мы сейчас называем бытием числа, будет для нас исходным пунктом для всего дальнейшего анализа. Если в отношении к чистой категории числа как к числовому перво–акту это утверждение цельного числа есть реальное бытие числа, то в отношении к дальнейшему оно будет тем основным и единственным существом, сущностью, из которой все остальное будет появляться только путем тех или иных диалектических операций. Чистая категория числа как бы носится над всей числовой стихией и как бы не принимается во внимание при анализе конкретных видов и типов числа. Но тогда среди этих последних должна существовать такая группа явлений, которая оказывается существенной в отношении прочих групп этих явлений. Конечно, подлинной и последней сущностью числа является самая категория числа, число как перво–принцип. Но, повторяем, в целях удобства построения и изложения целесообразно эту категорию принимать как до–категориальный перво–прин–цип, а «сущность» находить уже среди конкретизаций того, что находится под этим перво–принципом.
Заметим, что в истории философии такой метод бывал не раз. Так, у неоплатоников «сущность», «сущее» есть именно второй принцип, существующий не там, где «единое», но там, где ум и идеи. Ум не первоначален, хотя он — сущность всего существующего.
c) Таким образом, область «числа в себе» делится —
I. Сущность числа. Натуральный ряд чисел. Типы числа. Арифметические действия над числами. Алгебра. Алгебраическая арифметика, или «алгебраический анализ».
II. Явление числа. Скалярный математический анализ (дифференциальное, интегральное, вариационное исчисление).
III. Действительность числа. Учение о векторах. Век–торно–тензорное исчисление.
§ 82. Терминологические замечания.
1. Относительно предложенной диалектической системы необходимо сделать ряд замечаний, долженствующих оправдать некоторое расхождение с обычным явлением соответствующего математического материала. С таким расхождением мы будем встречаться нередко; и необходимо по возможности указывать на его[120 — В рукописи: ее.] наличие.
Относительно существующих руководств и пособий по математике необходимо сделать общее замечание. Все они появились в результате определенных исторических, психологических и педагогических мотивов и часто почти не преследуют целей логической последовательности системы. Так, материал, известный теперь под названиями «арифметика» и «алгебра», настолько разношерстен, что объединить его в какую–нибудь единую систему совсем невозможно. То, что полегче и что можно дать детям младшего возраста, отнесено к «арифметике», а то, что потруднее, — к «алгебре». С такой педагогической точкой зрения должны считаться педагоги, но не философы, преследующие цель логически последовательной систематики. Приходится или выбросить совсем такие термины, как «арифметика», «алгебра», «анализ», или придать им условный смысл и в дальнейшем уже не выходить за рамки принятого словоупотребления. Выбросить такие старые и популярные термины, конечно, невозможно. Но тогда надо вкладывать в них какое–то определенное и вполне точное логическое содержание, хотя оно и было только условным.
Прежде всего в «арифметике» мы находим такие, напр., главы, как учение о мерах и весах, имеющие к арифметике такое же отношение, как и к любой естественнонаучной дисциплине, даже, пожалуй, меньшее. С другой стороны, в «алгебре» много таких вопросов, как, напр., извлечение квадратного или кубического корня из чисел или техника логарифмирования, что по смыслу своему должно бы иметь место в «арифметике». Кроме того, логарифм есть трансцендентная функция, и неизвестно, как связать его с прочим материалом «алгебры». «Анализ» наполнен разными геометрическими построениями и приложениями, которым настоящее место, конечно, не в анализе, а в специальной науке. Да и самое название «анализ» мало того, что не очень точно, оно употребляется в совершенно спутанном виде.
Под «анализом» обычно понимается дифференциальное и интегральное исчисление, т. е. изучение функций в условиях бесконечного процесса. Тем не менее «аналитическая геометрия» — вовсе не та геометрия, в которой применены методы исчисления бесконечно–малых. Это, вообще говоря, изучение геометрических элементов с точки зрения алгебры, так что правильнее всего было бы назвать ее алгебраической геометрией. Там же, где применены методы исчисления бесконечно–малых (т.е. методы «анализа»), [учение] называется не аналитической геометрией (как это требовала бы логика), но почему–то дифференциальной геометрией, а частью этот материал излагается прямо в курсах самого же анализа. Неизвестно также, почему эта геометрия называется дифференциальной, а не дифференциально–интегральной (раз там применены не только дифференциалы, но и интегралы). А то, что составляет содержание т. н. теории чисел (напр., все рассуждения о делимости), ничем принципиально не отличается от содержания обычной «арифметики», равно как и «высшая алгебра» содержит в себе теорию всех тех же управлений, что и «элементарная алгебра», только что эта теория и эти уравнения здесь посложнее и потруднее. Такая педагогическая и историко–психологическая точка зрения в классификации математического материала, конечно, должна быть нами отброшена.
2. Что же составляет подлинный и логически выдержанный предмет арифметики и алгебры?
Арифметика есть учение о «числе в себе», т. е. о непосредственном бытии числа. Этим она резко отличается от алгебры, оперирующей не с числами, но с функциями. Но тогда к арифметике надо отнести все типы числа, если только они имеют непосредственное значение. Прежде всего к арифметике должно быть отнесено употребление отрицательных чисел. На каком основании это понятие отнесено к алгебре и что алгебраического в отрицательной величине? Раз арифметика действует с положительными числами и, кроме того, еще действует с нулем, то очень странно, если тут же не будет еще и категории отрицательного числа. Фактически арифметика и употребляет отрицательные числа (напр., в рассуждениях о купле и продаже, в учении о векселях и пр.), но в угоду логическому принципу маскирует это употребление, относя соответствующую терминологию в другую науку.
Далее, вполне арифметичны рассуждения и о бесконечности. Бесконечное число есть особого рода число. Оно оценивается в своей самостоятельной и непосредственной данности; и нет нужды выбрасывать его из арифметики. Точно так же необходимо внести в арифметику теорию мнимых величин, рассматриваемую почему–то частью в алгебре (обычно — мелким шрифтом, так что сами авторы, по–видимому, не знают, здесь ли подлинное место для нее), частью в анализе (хотя к последнему относится только теория функций комплексного переменного, а не арифметика мнимостей). Решительно нужно выбросить из алгебры также действия над степенями и корнями. Это вполне непосредственные операции над непосредственно и самостоятельно данными величинами. Сюда же надо отнести и логарифмирование, хотя его почти всегда отрывают от статьи о степенях и корнях, с которой оно существенно связано.
И вообще алгебра отличается от арифметики не тем, что она пользуется какими–то особенными действиями, которых нет в арифметике, или какими–то новыми типами чисел, которых нет в арифметике. Вовсе не в этом принципиальное отличие. Единственное принципиальное отличие алгебры от арифметики заключается в том, что тут—инобытие всех арифметических чисел и действий, инобыгийный их коррелят. В них не вносится ровно ничего нового, и их система ровно ни в чем не меняется. Но все эти числа и действия, все вместе, как некая целостная сфера, целиком переносятся в новую область; и в этой области они подвергаются, опять–таки все вместе, единообразной модификации. Область же эта есть область функциональных отношений. Следовательно, в алгебре не будет ничего нового в смысле категории числа или категории действий, ибо все эти категории относятся к сущности чисел и действий, а вся сущность обрисована в арифметике. В алгебре—те же категории, но только иное их употребление, а именно употребление функциональное, употребление в составе функций и их преобразований. Это и есть сущность алгебры.
3. Другое дело — отличие алгебры от анализа. И то и другое есть учение о функциях. Но к алгебре относятся функции с подлинными величинами, к анализу же — функции при бесконечно–малых процессах изменения аргумента. Возникающие здесь сложные переплетения алгебраических и аналитических методов будут у нас предметом рассмотрения в своем месте.
I. СУЩНОСТb (АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ) § 83, Разделение.
Как было установлено в § 81, та
