нитью столь тонкою, что она находится у предела видимого и осязаемого. Условимся называть такие точки и линии словами «точка-шар», «линия-цилиндр» а точки и линии, имеемые в виду Евклидом, словами «точка-граница» «линия-граница». Очевидно, что если бы точка и линия были шаром и цилиндром, то нельзя было бы утверждать, что между каждыми двумя точками всегда есть ещё точка и что через точку можно провести бесчисленное множество линий. Или, вернее, можно сохранить утверждение этих законов, но для этого необходимо мыслить, что между двумя шарами вставляются шары, отчасти налегающие друг на друга, и что через шар проходят цилиндры, сдвинутые в отношении друг к другу.
Чтобы мыслить при этом возможность вставления бесконечного числа шаров, нужно мысленно иметь в виду центр шара уже не как шар, а как точку-границу и отдавать себе отчёт в том, что на линии в промежутке между двумя шарами есть бесконечное-множество точек-границ и каждая такая точка может быть центром шара, вследствие чего отличных друг от друга, хотя и налегающих отчасти друг на друга шаров можно вставить бесчисленное множество. Итак, оказывается, мыслить упомянутый закон можно лишь постольку, поскольку в состав идеи «точка-шар» входит идея «точка-граница». Точно так же мыслить бесчисленное множество линий-цилиндров, проходящих через точку-шар, удаётся лишь постольку, поскольку в составе идеи «линия-цилиндр» есть идея «линия-граница». Наблюдая такие необходимые взаимовключенности идей, приходится признать следующий закон строения пространства: трёхмерный объём необходимо содержит в себе такой аспект, как двухмерные поверхности-границы, поверхность необходимо заключает в себе одномерные линии-границы, а линия – точки-границы. Само собою разумеется, и трёхмерный объём, в свою очередь, есть граница четырехмерного объёма.
Современные математики-философы, опасаясь, что такие предметы как точка-граница, не «существуют», и не желая в то же время оставаться на почве грубого эмпиризма, удовлетворяющегося точкою, как minimum visibile, прибегают к сложному пониманию точки, линии, поверхности как ряда уменьшающихся, включенных друг в друга объёмов.
Таково, напр., учение Уайтхеда о точке и моменте времени, развитое им согласно «принципу экстенсивной абстракции». Простое изложение этого учения дано Вгоаd’ом в его книге «Scientific Thought»; им главным образом я и воспользуюсь A. Whitehead, An Enquiry concerning the Principles of Natural Knowledge, гл. VIII и др. С. 0. Broad, Scientific Thought, стр. 37-51.].
Броод следующим образом вводит читателя в круг идей Уайтхеда.
Точки, имеющие положение в пространстве, но не имеющие объёма, не могут образовать сплошности; далее, они не суть части пространства в том смысле, как объёмы суть части пространства; наконец, они не могут быть предметом восприятия, между тем наука, даже и вырабатывая понятия, стремится иметь дело с воспринимаемыми объектами и их воспринимаемыми отношениями. Ввиду этих недостатков традиционного понятия точки следует выработать другое понятие её, не заботясь о том, какова при этом будет «внутренняя природа понятия», так, как для науки важна не эта природа, а то, чтобы предмет, называемый точкою, удовлетворял следующим условиям: 1) между двумя точками должны существовать отношения, требуемые геометриею; 2) точки должны находиться в таком отношении к поверхностям и объёмам чтобы имело смысл сказать, что поверхности и объёмы могут быть исчерпывающим образом разложены на группы точек (exhaustively analysed into sets of points). Сущность (entity), отличная от точки, имеющей положение без объёма, сохраняет для науки то же значение, если только она сохраняет те же отношения. Так, напр., в математике Ö2 прежде определяли как предел ряда чисел, квадрат которых меньше чем 2. Но неизвестно, существует ли такое число за пределами этого ряда; поэтому теперь определяют иррациональное число Ö2 как сам этот ряд чисел. Такой ряд, наверное, существует; такое число обладает сложною внутреннею структурою, но формально-логические свойства его те же что и у простого числа.
Уайтхед подвергает такому же преобразованию и понятие точки.
Согласно старому определению, точка есть предел ряда уменьшающихся объёмов, включенных друг в друга. Уайтхед, пользуясь сплошностью (continuity) пространства, т. е. тем, что всякий объём содержит в себе меньшие объёмы, определяет точку как сам этот ряд уменьшающихся объёмов. Такой ряд Уайтхед называет «абстрактивным классом». Поскольку речь идёт о физических процессах, Уайтхед имеет в виду пространственно-временные формы, т. е. формы событий (events). Но для простоты он поясняет свою мысль на примерах пространственной формы, обособленной от времени, т. е. посредством пространственных диаграмм. «Возьмем, – говорит он, – ряд квадратов, концентрических и расположенных подобно. Пусть длины сторон ряда квадратов, расположенные в порядке уменьшающейся величины, будут hi h»… Ья
Тогда каждый квадрат объёмлет все последующие квадраты ряда. Далее пусть ^Jo„=0;
именно пусть hn стремится к нулю по мере того, как n возрастает до бесконечности. Тогда эта группа квадратов образует абстрактивный класс.
Некоторые математики предлагают пользоваться для этой диаграммы не квадратами, а кругами, чтобы уменьшение объёма со всех сторон было равномерным.
«В другом случае возьмем ряд прямоугольников, концентрических и расположенных подобно»; пусть две противоположные стороны этих прямоугольников сохраняют одну и ту же величину, а две другие уменьшаются, стремясь к нулю по мере возрастания n до бесконечности. Эта группа также образует абстрактивный класс.
Очевидно, группа квадратов, описанных в первом примере, конвергирует к точке, а группа прямоугольников – к прямой линии. «Точно так же, пользуясь трёхмерными объёмами, можно диаграмматически изобразить абстрактивные классы, конвергирующие к поверхностям» A. Whitehead, стр. 105 с.].
В понимании точки, данном Уайтхедом, нет грубо очевидного логического круга, как это может показаться, если придирчиво критиковать употребляемые им слова, напр. слово «концентрический». Ряд объёмов конвергирующих к одной точке, может быть определен не отношением их к этой точке, недоступной восприятию, а отношением членов ряда друг к другу. Таким образом, говорит Броод, здесь понятия науки определяются через доступные восприятию объекты и их воспринимаемые отношения Broad, Sc Th, 46 с.].
Аналогичным способом можно выработать, исследуя форму времени, понятие момента.
Сложная искусственная конструкция Уайтхеда поражает нас, людей удовлетворяющихся «гимназическим» пониманием точки, дошедшим до нас от Евклида и состоящим в том, что мы мыслим точку как нечто крайне простое, именно как то, что мы назвали термином «точка-граница». Правда, точка, так понимаемая, не наглядна, и тем не менее она стоит перед умственным взором в интеллектуальной интуиции с предельною очевидностью; именно её «внутренняя природа» (inner nature) служит основанием для понимания множества синтетических суждений, выражающих законосообразно необходимые следствия её сущности и не требующих, несмотря на свою значительность и своеобразие, никакого другого доказательства, кроме интеллектуального созерцания этой сущности. Без сомнения, сами авторы сложных конструкции, пытающиеся заменить ими простое традиционное понятие точки отправляются от традиционного смысла понятия и поверяют годность своей конструкции, сличая следствия её со следствиями традиционного понятия. Иными словами, они отлично понимают смысл понятия «точка-граница». А то обстоятельство, что точка, так понимаемая, не доступна чувственному наглядному восприятию, ничему не мешает и не подрывает бытия точки. Ведь и сами конструкции Уайтхеда, Ресселя, Броода и др. пронизаны нечувственными, не наглядными моментами, которые в случае устранения их привели бы к исчезновению и самих чувственных содержаний, а также чувственной интуиции. В самом деле, геометрические квадраты, шары и т. п. как предметы чувственного созерцания не даны; во-вторых, тем более ряды, соединения их и т. п. аспекты сложных целостей не суть предмет чувственного наглядного созерцания. Явным образом здесь перед нами предметы интеллектуальной интуиции, только символически обозначаемые реальными, чувственно данными предметами; если тем не менее мы отчётливо понимаем содержание этих сложных не наглядных предметов и усматриваем необходимые следствия, вытекающие из них, то тем более мы понимаем содержание традиционного понятия точки и необходимые следствия его. На замечание Ресселя, что точки суть фикции, Броод отвечает: нет, точки не суть фикции, они существуют, однако, правда, иначе, чем объёмы, именно «они существуют в том смысле, что они суть определенные функции реального ряда актуально существующих единичных предметов (particulars)»; мы воспринимаем посредством органов чувств, добавляет Броод, только единичные предметы, а точки, линии и т. п. суть не единичные предметы, но «логические суммы классов» (logical sums of classes, 51).
На эти рассуждения Броода следует ответить в свою очередь, что и точка, как граница, и прямая линия, как одномерное неизменное направление, существуют в такой же мере, в какой существуют логические суммы классов, именно и то, и другое может быть найдено в опыте как не наглядный аспект наглядных данных, неустранимый из их состава. В самом деле, положим, я воспринимаю две растущие рядом ели и замечаю, что одна из них значительно выше другой. Констатировать эту разницу высоты можно не иначе, как мысленно прослеживая и сравнивая две вертикальные прямые линии, тянущиеся от точки основания до точки вершины дерева и извлеченные нами из состава воспринимаемой формы двух деревьев. Конечно, воспринимающий субъект принял за основание и вершину две точки, более или менее произвольно выбранные им из состава формы дерева: нельзя точно установить границу между вершиною дерева и окружающею средою, а также между стволом дерева и корнем. Однако это означает лишь, что из бесчисленного множества точек, лежащих на вертикальной прямой, субъект произвольно выбрал две точки как границы отрезка прямой, а вовсе не означает что точек в воспринятой форме вовсе нет: форма дерева может быть воспринята как конусообразная только под условием, что в составе этого восприятия находится, между прочим, и такой элемент формы, как отрезок: вертикальной прямой линии с двумя его границами, верхнею и нижнею. Хотя этот элемент конусообразной формы и не нагляден, без него не было бы наглядно воспринимаемого конусовидного целого.
Мысленно прослеживаемая субъектом вертикальная линия высоты дерева гомогенна, а наглядное восприятие высоты не гомогенно: под влиянием возрастания мускульных напряжений при переходе к верхней части линии я присоединяю к восприятию наличной формы представление о большей длине и преувеличиваю длину верхней части линии. Если я буду делить дерево пополам на глазомере, я сделаю ошибку, которая может быть вскрыта методами более точного измерения. Гомогенная линия, входящая в состав формы предмета, послужила здесь основанием для негомогенностей чувственного восприятия, подобно тому как гомогенная структура пространственных форм служит основою для него могенностей, возникающих на основе «ее перспективных форм, о чём речь была в предыдущей главе.
И в этом случае, как и в предыдущих, чувственно воспринимаемый реальный предмет содержит в себе нечувственную идеальную форму придающую ему характер строго упорядоченного, систематического единства; без идеальной формы реальный предмет не может ни существовать, ни быть воспринятым.
Чтобы мыслить в чистом виде идеальные формы реального бытия достаточно отвлечься от чувственных содержаний восприятия, выделить идеальные формы из идеально-реального предмета (abstrait есть extrait *, говорит Тэн), а вовсе не нужно конструировать их, прибегать к «идеализации» и т. п. приемам.
