с реальными вещами так глубоко укоренена, что даже и математическое мышление о них осуществляется с помощью реальных символов, точек и линий начерченных мелом, и т. п. Отсюда возникает ложная мысль, будто геометрия основана на наглядных очевидностях, на том, что Кант назвал reine Anschauung *. На деле, как и все науки об аспектах отвлеченного логоса, геометрия разрабатывается посредством чистого мышления, т. е. посредством интеллектуальной интуиции. Это чистое мышление состоит из интенсиональных актов, прослеживающих идеальные данности и их законосообразные связи, имеющие характер синтетической необходимости следования.
Поскольку в суждении субъект и предикат связаны отношением синтетической необходимости следования, оно не может быть обосновано одною лишь ссылкою на закон тожества, противоречия и исключённого третьего. Поэтому философ, придерживающийся ложной мысли, будто всякое логическое обоснование имеет аналитический характер, т. е. представляет собою тавтологию, питает недоверие к движению мысли, слишком ярко обнаруживающему синтетическое следование: смелый поступательный ход мысли кажется ему иррациональным логически необоснованным. Недоверие усиливается, когда такой ход мысли осуществляется в связи с пользованием наглядными символами: это обстоятельство побуждает к дополнительной ошибочной мысли, что иррациональная наглядность есть источник иррационального движения мысли. Примером может служить суждение «между каждыми двумя точками всегда есть ещё точка», мыслимое в связи с символическим изображением двух точек, причём под точкою разумеется граница линии, не имеющая никакого протяжения, но обладающая положением в пространстве.
Действительно, такие суждения ставят философа лицом к лицу со свойствами мышления и бытия, которые представляются чудесными с точки зрения индивидуалистического эмпиризма, позитивизма и всякого антиметафизицизма: они не могут быть обоснованы ни индуктивно ни дедуктивно и тем не менее предстоят уму, как бесспорные истины вычитываемые умом прямо из состава идеального предмета созерцания который оказывается связанным бесчисленными нитями с множеством других идеальных предметов, образующих стройное бесконечно содержательное органическое целое. Ум человека и тем более разумность мира предстают в таком величии, которое обязывает к развитию не менее величественной системы метафизики, утверждающей духовную и более того, божественную основу мира. Исследователи, отказывающиеся вступить на путь такой метафизики, осуществляют все новые попытки построить ту или иную из основных наук (логику, арифметику, геометрию) как строго логически развертывающуюся систему, обходясь без ссылки на первичные наглядные или идеальные данности, без ссылки на интуицию, открывающую основные свойства бытия. В числе таких попыток особенного внимания заслуживает обоснование геометрии Д. Гильбертом с помощью метода, который он называет аксиоматическим.
Гильберт начинает свой труд «Grundlagen der Geometrie» словами: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками», вещи второй системы – прямыми, вещи третьей системы – плоскостями. «Мы мыслим точки, прямые и плоскости в известных взаимных отношениях и обозначаем эти отношения словами «лежать», «между», «параллельный», «конгруентный», «непрерывный»; точное и для математических целей полное описание этих отношений производится посредством аксиом геометрии». Далее Гильберт перечисляет эти аксиомы, разделенные им на пять групп. Вторая группа этих аксиом, называемая им группою аксиом расположения (Axiome der Anordnung), служит определением понятия «между». Она состоит из четырех аксиом; приведём три из них: 1) если А, В, С – точки прямой и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А; 2) если А и С суть две точки прямой, то существует всегда по крайней мере одна точка В, которая лежит между А и С, и по крайней мере одна точка D такая, что С лежит между А и D; 3) среда трёх точек прямой всегда есть одна, и только одна, которая лежит между двумя другими Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 6 изд., стр. 2-5 *.].
Выводы из аксиом Гильберт производит, пользуясь только определенными через аксиомы отношениями «между», «лежат» и т. д., а не какими-либо свойствами точек, прямых и плоскостей, дополнительными к этим отношениям и выводам из них. Неудивительно поэтому, что в дальнейшем оказывается следующее. Установленная им совокупность положений имеет значение не только для точек, прямых и плоскостей евклидовского пространства, но и для других объектов, напр. для линейного трёхмерного числового множества (lineare dreidimensionale Zahlenmenge) и вообще для всякого линейного трёхмерного многообразия Hilbert, стр. 24; см. также Н. Weber und Wellstein, Encykl. der. Elementarmathematik, II t, стр. 99.].
Таким образом, Гильберту принадлежит заслуга разработки науки более общей, чем геометрия евклидовского пространства. Не следует однако, думать, будто метод обоснования этой науки принципиально отличен от традиционного метода евклидовской геометрии в тех его чертах, которые объясняются изложенным выше учением об отвлеченном логосе. Следующие три отличия могут быть ошибочно приписаны ему.
1. Гильберт формулирует свои аксиомы и выводы из них, не пользуясь никакими наглядными чувственными представлениями; его точки прямые и плоскости суть условные термины, обозначающие предметы которые могут совсем не быть элементами пространства. Но и в геометрии Евклида, где точки, прямые и плоскости суть элементы пространства, из этого ещё не следует, будто они даны как чувственно наглядные представления: они суть идеальные объекты, имеемые в виду в понятии т. е. доступные мысли, а не чувственному созерцанию. Правда, в евклидовской геометрии мышление осуществляется в связи с чувственным созерцанием наглядных реальных символов, однако не реальная сторона этих символов, а идеальный аспект их есть предмет мышления: знание что «две евклидовские прямые не замыкают пространства», иллюстрируется символом, дающим чувственное впечатление, но удостоверяется не этою чувственною данностью, а содержащимся в ней идеальным моментом неизменности направления прямой линии.
Во всеобщей геометрии Гильберта знание, что две прямые имеют не более одной общей точки, есть вывод из аксиом связи; но в геометрии евклидовского пространства это знание может быть получено более непосредственным путем, интеллектуальным созерцанием евклидовских прямых.
2. Философы, отрицающие идеальное бытие, могут сказать, что интуитивизм и идеал-реализм утверждают идеальные данности отвлеченного логоса, независимые от индивидуально-психических актов познающего субъекта, тогда как аксиоматический метод Гильберта не пользуется никакими данностями, ни чувственными, ни идеальными; вся его геометрия есть построение человеческого духа, исходящее из аксиом содержащих в себе только произвольно предположенные им отношения между какими-то произвольно поставленными членами отношений х, у z, которые не наделены никакими свойствами, кроме свойства стоять друг к другу в отношениях, описанных посредством аксиом. Чтобы отдать себе отчёт, что правильно и что неправильно в. этом истолковании метода Гильберта, обратимся, напр., к его третьей аксиоме расположения: «между тремя точками прямой есть всегда одна и только одна, лежащая между двумя другими». Высказывание этой аксиомы, сопровождающееся пониманием её, есть не только ряд слов и не только ряд психических актов, текущих во времени как события: оно есть имение в виду элементов x1 x2 х3, обладающих определенным порядком именно таким, при котором x2 стоит в отношении «между» к x1 и х3, a x1 не стоит в отношении «между» к x2 и x3 так же и х3 не расположено «между» x1 и x2. В некоторых умах это имение в виду предшествуется волевым актом воображаемого упорядочения элементов x1 x2 х3, выразимого аксиомою Гильберта. Даже и в таких умах устанавливаемое ими отношение есть не психическое событие, а способ действования, порядок его; как всякий порядок, он не есть событие, текущее во времени следовательно, есть идеальный аспект действования. Этот порядок не есть нечто произвольно сотворенное впервые умом Гильберта; как некоторый определенный тип действования, он есть аспект отвлеченного логоса, присущий всем субъектам, всем субстанциальным деятелям мира. В самом деле, каждое, напр., отталкивание, производимое рукою человека, каждое отталкивание, производимое любым электроном, есть действование, осуществляемое согласно этому типу порядка. К области произвола, субъекта при установке рассматриваемой аксиомы относится только то, что из всего множества аспектов отвлеченного логоса выбран для мышления именно этот аспект, причём субъект совершает акт отвлечения, требующий особенного волевого напряжения, именно он отвлекается от всех свойств членов отношения «между». Перечисленные волевые напряжения (акт отвлечения, акты воображаемого упорядочения) настолько выдвигаются на первый план, что получается иллюзия будто и самые формы порядка суть произвольные творения человеческого духа.
3. Могут сказать, наконец, что строго логический характер обоснования геометрии Гильберта отличает его систему от традиционной евклидовской геометрии: исхода из ряда определений, данных посредством групп аксиом, Гильберт, опираясь на них, развивает систему геометрии путём дедуктивных умозаключений; следовательно, скажут, он нигде не имеет дела с синтетическою необходимостью следования, всякий переход от одной мысли к другой представляет у него собою аналитическую необходимость следования (т. е. логическую связь, сводящуюся к закону тожества, противоречия и исключённого третьего или, если угодно к закону достаточного основания, понятому, однако, лишь как совокупность трёх упомянутых аналитических логических законов мышления).
В ответ на это заметим, что и система геометрии Гильберта содержит в себе движение мысли, имеющее характер синтетической необходимости следования. В самом деле, всякое умозаключение, даже силлогизм модуса Barbara, содержит в выводе новый элемент, хотя бы только новую в сравнении с посылками связь (напр., всякое S есть М всякое М есть Р, следовательно, всякое S есть Р; знание связи S с М и М с Р есть достаточное основание для утверждения в выводе третьей связи, отличной от двух первых, именно связи S с Р). Следовательно, всякое умозаключение, даже и силлогизм модуса Barbara, есть синтетическая система: переход от посылок к выводу есть синтетическая необходимость следования, не объяснимая ссылкою только на законы тожества, противоречия и исключённого третьего См. опровержение аналитических теорий силлогизма в моей «Логике» §§ 130-136; см. также мою статью «The Chief Characteristics of a System of Logic connected with Intuitivism in Epistemology and Ideal-Realism in Metaphysics», Proceedings of the Seventh International Congress of Philosophy; Ocxford University Press, 1931; о том, что все определения суть суждения синтетические, см. мою «Логику», §§ 53-55.].
Таким образом, остаётся лишь следующее существенное отличие основ геометрии Гильберта и» основ традиционной евклидовской геометрии. Традиционная геометрия начинает с интеллектуального созерцания точек, прямых, плоскостей как предметов, имеющих определённую природу, из которой следует, что между ними существуют отношения, выразимые такими аксиомами, как: «две отличные друг от друга точки А и В определяют прямую а» или «если А и С суть две точки прямой, то всегда существует по крайней мере одна точка В, лежащая между А и С» и т, д. Наоборот, геометрия Гильберта исходит их этих отношений и условливается изучать те предметы x1 x2 х3, которые связаны этими отношениями, независимо от того, какова внутренняя природа предметов. Отсюда, как уже сказано, получается большая общность его системы геометрии, но вовсе не полное освобождение от идеальных данных усматриваемых путём интеллектуальной интуиции: такие данные его геометрии суть выбранные им для наблюдения основные отношения образующие порядок, законосообразности которого, открываемые путём умозаключения из
