нулем. Ясно, что шанс того, что целое число будет простым, будет больше, чем шанс того, что оно будет, скажем, и четным и нечетным, хотя этот шанс меньше, чем любая конечная дробь, как бы мала она ни была. Я сказал бы, что когда шанс, что некое о есть b, равняется нулю, мы можем сделать вывод, что «ни одно а не есть b», но когда этот шанс бесконечно мал, мы не можем сделать такого вывода.
Следует заметить, что если мы только не делаем какого-либо предположения о ходе вещей в природе, мы не можем использовать этот метод стремления к пределу, когда имеем дело с последовательностью, которая определена эмпирически. Например, если мы многократно бросаем данную монету и обнаруживаем, что число выпадении лицевой стороны — по мере того как мы продолжаем бросание — непрерывно стремится к пределу 1/2, то это не уполномочивает нас делать предположение, что таковым действительно стал бы этот предел, если бы мы смогли сделать нашу последовательность бросаний бесконечной. Может, например, быть, что если n есть число бросаний, то пропорция выпадении лицевой стороны приближается не строго к 1/2, а к где N есть число гораздо большее, чем то, которого мы можем достичь в действительном эксперименте. В этом случае наши индукции становились бы эмпирически фальсифицированными как раз тогда, когда мы думали бы, что они прочно установлены. Или опять-таки с любой эмпирической последовательностью могло бы случиться, что через некоторое время она перестала бы подчиняться закону и перестала бы в каком бы то ни было смысл стремиться к пределу. Если в таком случае вышеприведенное распространение нашего определения на бесконечные последовательности нужно применить к эмпирическим последовательностям, то мы должны будем ввести какую-то индуктивную аксиому. Без этого нет основания ожидать, что более поздние части такой последовательности будут продолжать подчиняться тому закону, которому подчиняются более ранние ее части.
В обычных эмпирических суждениях вероятности, таких, например, которые содержатся в прогнозах погоды, имеется смесь различных элементов, которые важно отделить друг от друга. Самым простым предположением — чрезмерно упрощенным здесь для целей иллюстрации — является предположение на основе наблюдения какого-либо симптома, который, скажем, в девяноста процентах случаев, в которых он прежде наблюдался, сопровождался дождем. В этом случае, если бы индуктивные аргументы были столь же бесспорны, как и дедуктивные, мы сказали бы, что «имеется девяностопроцентная вероятность дождя». Это значит, что настоящий момент относится к определенному классу (классу моментов, когда вышеупомянутый симптом налицо), девяносто процентов членов которого являются моментами, предшествующими дождю. Это вероятность в уже разобранном нами математическом смысле. Но не только это делает нас неуверенными в отношении наступления дождя. Мы не уверены также и в отношении бесспорности самого вывода; мы не чувствуем уверенности в том, что за этим симптомом будет в будущем следовать дождь в девяти случаях из десяти. И это сомнение может быть двух видов — научным и философским. Сохраняя в общем полное доверие к методам науки, мы можем чувствовать, что в этом случае слишком мало данных, чтобы обеспечить индукцию, или что не проявлено достаточной заботы для элиминирования других обстоятельств, которые также могут быть налицо и могут быть более неизменными предшественниками дождя. Кроме того, записи могут быть сомнительными: они могли быть испорчены дождем и стать недоступными, для расшифровки или могли быть сделаны человеком, о котором вскоре после этого стало известно, что он ненормален. Такие сомнения относятся к научным методам, но существуют также сомнения, выдвинутые Юмом: является ли индуктивный метод действительным или только удобной для нас привычкой? Все или любое из этик оснований могут заставить нас колебаться в отношении девяностопроцентного шанса дождя, в который наши свидетельства склоняют нас верить.
В случаях такого рода мы имеем иерархию вероятностей. Первая ступень: вероятно, будет дождь. Вторая ступень: вероятно, симптомы, которые я заметил, являются признаками вероятного дождя. Третья ступень: вероятно, определенного рода события делают определенные будущие события вероятными. Из этих трех ступеней первая характеризует обыденный здравый смысл, вторая есть уровень науки и третья — философии.
На первой ступени мы наблюдали, что до сего времени в девяти случаях из десяти за А следовало В; в прошлом, следовательно, А делало В вероятным в смысле конечной частоты. На этой стадии мы без размышления предполагаем, что мы можем ожидать это же самое и в будущем.
На второй ступени, не ставя под вопрос общую возможность выведения будущего из настоящего, мы сознаем, что такие выводы должны подчиняться определенным гарантиям, таким, например, как гарантии четырех методов Милля. Мы сознаем, также, что индукции, даже когда они осуществляются в соответствии с наилучшими правилами, не всегда подтверждаются. Но я думаю, что наши действия все же могут быть включены в сферу теории конечной частоты. Мы осуществили в прошлом какое-то количество индукций, одних более, других менее тщательно. Из осуществленных в соответствии с определенной процедурой пропорция P до сих пор подтверждалась; следовательно, эта процедура до сего времени сообщала вероятность p тем индукциям, которые ома санкционировала. Научный метод в значительной мере состоит из правил, посредством которых p (испытанное прошлыми результатами прошлых индукций) может быть больше приближено к 1. Все это находится все еще в пределах теории конечной частоты, но теперь уже только индукции являются единственными членами в нашей оценке частоты.
Это значит, что мы имеет два класса A и B, из которых A состоит из индукций, которые были осуществлены в соответствии с определенными правилами, а В состоит из индукций, которые до сего времени подтверждались опытом. Если n есть число членов A, а m есть число членов, общих для A и B, тогда m/n есть шанс, что индукция, осуществленная в соответствии с вышеупомянутыми правилами, приведет в настоящее время к результатам, которые оказались бы истинными, если бы могли быть проверены.
Говоря это, мы не пользуемся индукцией; мы просто описываем черты естественного порядка вещей, поскольку его наблюдали. Мы, однако, нашли критерий высокого качества (до сего времени) всякого предлагаемого правила научной процедуры и нашли его в пределах конечной частоты. Единственно новое есть то, что наши единицы теперь являются не единичными событиями, а индукциями. Индукции трактуются как события, и только те из них, которые действительно имели место, должны рассматриваться, как члены нашего класса.
Но как только мы начинаем доказывать или то, что какая-либо отдельная индукция, которая к настоящему времени подтвердилась, будет или вероятно будет подтверждена в будущем, или то, что правила процедуры, дававшие до сих пор большую пропорцию индукций, которые к настоящему времени были подтверждены, способны давать большую пропорцию подтвержденных индукций в будущем, мы выходим за пределы теории конечной частоты, поскольку мы здесь имеем дело с классами, члены которых неизвестны. Математическая теория вероятности, как и вся чистая математика, хотя и дает знание, не даст (по крайней мере в одном весьма важном смысле) чего-либо нового; индукция же, напротив, определенно дает что-то новое, и сомнение касается только того, является ли то, что она дает, знанием.
Я пока не хочу исследовать индукцию критически, я хочу только выяснить, что она не может быть введена в сферу теории конечной частоты, даже если мы будем рассматривать отдельную индукцию как одну из класса индукций, поскольку проверенные индукции могут давать только индуктивное свидетельство в пользу еще не проверенной индукции. Если затем мы скажем, что принцип, оправдывающий индукцию, является «вероятным», то мы должны употреблять слово «вероятный» в ином смысле, чем оно употребляется в теории конечной частоты; этот смысл должен — как я сказал бы — быть тем, что мы называли «степенью правдоподобия».
Я склонен думать, что если признать индукцию или любой другой постулат, который мы решим поставить вместо нее, то все точные и измеримые вероятности могут быть интерпретированы как конечные частоты. Допустим, что я, например, говорю, что «имеется высокая степень вероятности, что Зороастр существовал». Чтобы обосновать это утверждение, я должен буду рассмотреть сначала, каковы относящиеся к этому вопросу свидетельства, а затем поискать подобные свидетельства, о которых известно, что они правдивы или неверны. Класс, от которого зависит вероятность, не является классом пророков существующих и несуществующих, ибо, включая несуществующих, мы делаем этот класс до некоторой степени неопределенным; не может этот класс быть также классом только существующих пророков, поскольку исходным вопросом как раз и является вопрос, принадлежит ли Зороастр к этому классу. Мы должны будем рассуждать следующим образом: в случае вопроса о Зороастре имеется свидетельство, принадлежащее к определенному классу А; мы находим что из всех свидетельств, которые принадлежат к этому классу и которые могут быть проверены, отношение p оказывается правдивым свидетельством; мы, следовательно, может сделать индуктивный вывод, что есть вероятность p в пользу подобных свидетельств в случае Зороастра. Таким образом, частота плюс индукция оказываются достаточными для этого использования вероятности.
Или допустим, что, подобно епископу Батлеру, мы говорим: «Вероятно, что вселенная является результатом замысла Создателя» Здесь мы начинаем с таких вспомогательных аргументов, как аргумент, что создание часов предполагает часового мастера. Имеется множество образцов часов, о которых известно, что они сделаны часовыми мастерами, и нет ни одних часов, о которых было бы известно, что они сделаны не часовым мастером. В Китае существует вид мрамора, который иногда чисто случайно производит впечатление картины, созданной художником; я видел поразительные примеры этого.
Но это бывает так редко, что, когда мы видим картину, мы бываем правы (допуская индукцию), делая с очень высокой степенью вероятности вывод о создавшем ее художнике. Епископу-логику остается — как он и подчеркивает это заглавием своей книги — доказать эту аналогию. Это может считаться сомнительным делом, но, конечно, не может быть подведено под математическую вероятность.
Пока, следовательно, может казаться, что сомнительность и математическая вероятность — последняя в смысле конечной частоты — являются единственными понятиями, необходимыми в добавление к законам природы и правилам логики. Это заключение, однако, является только предварительным. Нельзя сказать ничего окончательного, пока мы не рассмотрим некоторые другие предложенные определения «вероятности».
ГЛАВА 4
ТЕОРИЯ ЧАСТОТЫ МИЗЕСА-РЕЙХЕНБАХА
Частотная интерпретация вероятности в форме, отличающейся от интерпретации, данной в предшествующей главе, была развита в двух имеющих большое значение книгах германских профессоров, которые жили тогда в Константинополе.
Труд Рейхенбаха является развитием труда Мизеса и в различных отношениях лучшей формулировкой той же самой теории. Я поэтому ограничусь рассмотрением теории Рейхенбаха.
Изложив аксиомы исчисления вероятности, Рейхенбах предлагает далее интерпретацию, которая, по-видимому, внушена статистическими корреляциями. Он исходит из допущения двух последовательностей (x1, х2, …, xn…), (y1, y2, …. Уn…) и двух классов О и p. Некоторые или все х принадлежат к классу O; его интересует вопрос:
