обычно действительно происходит»; это значит, что мы должны интерпретировать вероятность как частоту.
2. Индукция в арифметике. В арифметике легко дать примеры таких индукций, которые ведут к истинным заключениям, и таких, которые ведут к ложным. Джевонс приводит два примера:
5, 15, 35, 45, 65, 95
7, 17, 37, 47, 67, 97
В первой строке каждое число оканчивается на 5 и делится на 5; это может привести к предположению, что каждое число, оканчивающееся на 5, делится на 5, что является истинным. Во втором ряду каждое число оканчивается на 7 и является простым; это могло бы привести к предположению, что каждое число, оканчивающееся на 7, является простым, что было бы ложным.
Или возьмем следующий пример: «Каждое четное целое число является суммой двух простых». Это истинно в каждом случае, в каком это было проверено, а число таких случаев громадно. Тем не менее остается обоснованное сомнение относительно того, является ли это всегда истинным.
В качестве поразительного примера недостаточности индукции в арифметике возьмем следующее: пусть Пи(х) = числу простых чисел больше или равно х
Известно, что когда х — велико, Пи(х) и li(х) почти равны. Также известно, что для каждого известного простого числа
Пи (х) меньше li(x).
Гаусс предположил, что это неравенство имеет место всегда. Это было проверено для всех простых числе до 107 и для очень многих сверх этого, и не было обнаружено ни одного частного случая ложности этого предположения. Тем не менее Литлвуд доказал в 1912 году, что имеется бесконечное число простых чисел, для которых это предположение оказывается ложным, а Скьюз (Skewes)’ доказал, что оно ложно для некоторых чисел меньших чем
34
10
10
10
Видно, что хотя предположение Гаусса и оказалось ложным, все же оно имело в свою пользу гораздо лучшее индуктивное свидетельство, чем какое существует в пользу наших даже наиболее твердо установленных эмпирических обобщений.
Даже не вдаваясь так глубоко в теорию чисел, легко сконструировать ложные индукции в арифметике в любом нужном количестве. Например, ни одно число, меньшее чем n, не делится на n. Мы можем сделать n как угодно большим, и таким образом, получить сколько угодно свидетельств в пользу обобщения: ‘Ни одно число не делится на n».
Ясно, что любые n целых чисел должны обладать многими общими свойствами, которыми большинство целых чисел не обладает. Для начала, если m есть наибольшее из них, то все они обладают бесконечно редким свойством быть не большими чем m. Следовательно, ни общая, ни частная индукции не действенны в применении к целым числам, если свойство, к которому индукция должна быть применена, не является как-либо ограниченным. Я не знаю, как сформулировать такое ограничение, и все же любой хороший математик в отношении свойства, по видимости допускающего действенную индукцию, будет иметь чувство, аналогичное обыденному здравому смыслу. Если вы заметили, что 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = З2, 1 + + 3 + 5 + 7 = 42, то вы будете склонны предположить, что
1 + 3 + 5 + … + (2n — 1) = N2,
и легко может быть доказано, что это предположение правильно. Подобным же образом, если вы заметили, что 13 + 23 = З2, 13 + 23 + З3 = б2, 13 + 23 + З3 + 43 = 102, то вы можете предположить, что сумма первых я кубов всегда равна какому-либо числу в квадрате, и это опять-таки легко доказать. Математическая интуиция никоим образом не является безошибочной в отношении таких индукций, но у хороших математиков она, по-видимому, чаще бывает правильной, чем ошибочной. Я не знаю, как ясно выразить то, что руководит математической интуицией в таких случаях, А пока мы можем только сказать, что никакое известное ограничение не сделает индукцию действенной в применении к натуральным числам.
3. Индукция не действенна в качестве логического принципа. Ясно, что если мы можем выбрать наш класс бета по желанию, то мы легко можем убедиться, что наша индукция будет ошибочной. Пусть а1, а2, …, an» будет до сего времени наблюденными членами класса а, все члены которого оказались членами класса p, и пусть an+1) будет следующим членом класса альфа. Поскольку дело касается чистой логики, класс бета может состоять только из членов а1, а2, …, an» или может состоять из всего, что есть во вселенной, кроме an+1; или может состоять из любого класса, промежуточного для этих двух. В любом из этих случаев индукция в отношении an+1) будет ложной.
Ясно (как может сказать возражающий), что класс бета не должен быть тем, что можно было бы назвать «искусственным» классом, то есть классом, частично определяемым через объем. В случаях определенного рода, наблюдаемых в индуктивном выводе, p всегда является классом, который известен по содержанию, а не по объему, кроме случаев, касающихся наблюденных членов а1, a2, …, an и таких других членов класса p, но не членов класса альфа, которые могли наблюдаться.
Очень легко построить явно недейственные индукции. Деревенский житель мог бы сказать: весь скот, который я когда-либо видел находится в Херефордшире; следовательно, вероятно, весь скот находится в этой части страны. Или мы могли бы утверждать: ни один человек, живущий сейчас, не умер, следовательно, вероятно, все люди, живущие сейчас, бессмертны. Ошибки в таких индукциях очень заметны, но они не были бы ошибками, если бы индукция была чисто логическим принципом.
Ясно поэтому, что для того, чтобы индукция не была явно ложной, класс p должен иметь определенные характерные признаки или должен каким-либо особым образом относиться к классу а. Я не утверждаю, что с этими ограничениями этот принцип должен быть истинным; я утверждаю, что без этих ограничений он должен быть ложным.
4. В эмпирическом материале явления идут во временном порядке и, следовательно, всегда составляют последовательность. Когда мы решаем вопрос, применима ли индукция в арифметике, мы, естественно, думаем о числах как расположенных в порядке величины. Но если бы мы могли расположить их произвольно, мы могли бы получить странные результаты; например, как мы видели, мы можем доказать, что бесконечно невероятным является то, что число, выбранное наудачу, не будет простым.
Для формулировки частной индукции существенно, чтобы был следующий случай, который требует упорядочения в последовательности.
Если должно быть какое-то оправдание для общей индукции, то необходимо чтобы первые n членов класса а оказались членами класса p, а не просто чтобы а и p имели бы n членов общих. Это опять-таки требует расположения в последовательности.
5. Если допустить, что для признания индуктивного вывода действенным необходимо, чтобы между классами а и p было какое-то отношение или какая-либо характеристика одного из них, в силу которых он является действенным, то ясно, что это отношение должно быть между содержаниями, например между «человеческим» и «смертным» или между «жвачным» и «имеющим раздвоенные копыта». Мы стараемся вывести объемные отношения, но мы первоначально не знаем объемов а и p, когда имеем дело с эмпирически данными классами, новые члены которых становятся известными время от времени. Каждый признает предложение «Собаки лают» хорошим индуктивным выводом, мы ожидаем соответствия между видимым образом животного и шумом, который оно издает. Это ожидание является, конечно, результатом другой, более широкой индукции, но это сейчас меня не касается. Меня касается соответствие между определенной внешней формой и определенным шумом, притом, что и то и другое являются содержаниями, и тот факт, что некоторые содержания кажутся нам более подходящими для индуктивного соотнесения, чем некоторые другие.
6. Этот пункт ясен. Если вселенная конечна, то полное перечисление теоретически возможно, а до тех пор, пока оно не сделано, обыкновенное исчисление вероятности показывает, что индукция, вероятно, действенна. Но на практике это соображение не имеет значения из-за диспропорции между числом вещей, которые мы можем наблюдать, и числом вещей во вселенной.
Теперь обратимся в общему принципу, помня, что мы должны поискать какое-либо ограничение, которое сделает его возможно действенным. Возьмем сначала частную индукцию. Эта индукция говорит, что если сделанный наудачу набор n членов класса альфа состоит полностью из членов класса p, то вероятно, что следующий член класса а будет p, то есть что большинство оставшихся альфа будет бета. Нужно, чтобы само это положение было только вероятным. Мы можем предположить, что а есть конечный класс, содержащий, скажем, N членов. Мы знаем, что из них по крайней мере n суть члены класса p. Если все число членов а, являющихся членами p, есть m, то все число способов получения n членов есть N! /(n! (N — n)!), а все число способов получения n членов, которые суть альфа, есть m!/(n! (m — n)!), «м обозначает произведение всех целых чисел от 1 до N. Следовательно, шанс набора, состоящего целиком из а, есть
Если Pm есть априорная вероятность того, что m есть число членов, общих для а и p, тогда вероятность после того, как произведен опыт, есть
Назовем ее qm. Если число членов, общих для а и р, есть m, тогда после изъятия n членов а, которые суть р, остается m- n членов бета и N-п членов не-бета. Следовательно, из предположения, что а и р имеют m общих членов, мы получаем вероятность qm (m — n)/(N-n) других бета. Следовательно, общая вероятность есть
Значение этого полностью зависит от Pm, для оценки которых нет действенного способа. Если мы вместе с Лапласом допустим, что каждое значение m равно вероятно, то мы получим результат Лапласа, что шанс, что следующее а будет р, есть (n +1)/(n +2). Если мы допустим, что априори каждое а одинаково вероятно будет р и не будет р, то мы получим значение 1/2. Даже при предположении Лапласа общая индукция имеет вероятность только (n +1)/(/V+1), которая бывает обычно небольшим.
Нам нужно, следовательно, какое-либо предположение, которое делает pm, большим, когда m почти равно N. А всякий шанс этого предположения на то, чтобы быть действенным, должен зависеть от природы классов а и (3.
В. Математическая трактовка индукции
Со времени Лапласа делались различные попытки показать, что вероятная истинность индуктивного вывода вытекает из математической теории вероятности. Теперь всеми признается, что все эти попытки были безуспешными и что если индуктивные доказательства должны быть действенными, то это должно быть в силу какой-либо внелогической характеристики действительного мира в его противоположности различным логически возможным мирам, какие только могут представляться умственному взору логика.
Первое из таких доказательств принадлежит Лапласу. В своей истинной, чисто математической форме оно имеет следующий вид:
Имеется n+1 сумок, сходных друг с другом по внешнему виду, каждая из которых содержит n шаров. В первой — все шары черные; во второй — один белый и все остальные черные;
