это просто не позволило бы нам принять одно из основных положений Пирса. Кстати, Джеймс, кажется, понимает эту проблему так: он признает свободу личности принимать любое верование, если оно способствует счастью этой личности. Хороший пример предоставляет случай религиозной веры. Но это совсем не тот путь, которому следует религиозный человек, придерживаясь своей веры. Он верит в Бога не ради удовольствия, какое он может доставить, а скорее наоборот: именно из-за своей веры он счастлив.
Начиная с возникновения философии в Греции математика всегда была предметом особого интереса философов. Достижения последних двухсот лет подтвердили это предпочтение самым поразительным образом. Исчисление бесконечно малых величин, сформулированное Лейбницем и Ньютоном, привело в XVIII в. к потоку математических открытий. Однако логические основы математики не были поняты как следует. Были распространены некоторые плохо обоснованные понятия.
В математическом анализе в то время придавали большое значение понятию «бесконечно малые величины», которое, как думали, играет существенную роль в функционировании вновь открытого исчисления. Бесконечно малая величина, как считали, — это количество малое настолько, что стремится к нулю. Предполагали, что именно такие количества применяются при образовании дифференциальных коэффициентов и интегралов. Понятие бесконечно малой величины — это, конечно, один из самых старых скелетов в математическом шкафу. (Перефразированная применительно к математике английская пословица о том, что у каждой семьи есть свой скелет в шкафу). Оно восходит к единице Пифагора, которая является схожим вариантом этого рода. Мы видели, как Зенон разоблачал пифагорейское учение. В наше время критические замечания относительно теории бесконечно малых величин также исходили от философов. Беркли был, возможно, первым, кто указал на заключенные в этой теории сложности, и известно, что Гегель также обсуждал эти вопросы. Но математики сначала не обратили внимания на эти предостережения. Они шли вперед и развивали свою науку, и хорошо, что они это делали. Особенностью возникновения и развития новых дисциплин является то, что слишком рано предъявленные строгие требования подавляют воображение ученых и часто сводят на нет открытия. Освобождение же от критических суждений способствует развитию предмета на его ранних стадиях, даже если это чревато появлением известного количества ошибок.
Один из Парадоксов Кантора: существует столько четных чисел, сколько чисел всего.
Тем не менее в развитии любой области наступает время, когда стандарты строгости должны быть ужесточены. В математике период особенной строгости наступил с начала XIX в. Первая атака была предпринята французским математиком Кочи, который разработал систематическую теорию пределов. Она вместе с более поздней работой Вейерштрасса в Германии дала возможность обходиться без бесконечно малых величин. Общие проблемы последовательности и бесконечности чисел, которые таились за этими достижениями, впервые были исследованы Георгом Кантором.
Бесконечность чисел причиняла беспокойство ученому миру еще во времена Зенона с его парадоксами. Если мы вспомним соревнование между Ахиллом и черепахой, мы могли бы изложить один из запутанных вопросов этого предмета следующим образом:
для каждого места, на котором был Ахилл, есть место, которое занимала черепаха. Таким образом, два бегуна располагали равным количеством положений. И все же очевидно, что Ахилл занимает больше места. Казалось бы, это противоречит здравому смыслу, в соответствии с которым целое больше, чем часть. Но когда мы имеем дело с бесконечностью, это уже не так. Возьмем простой пример. Ряд положительных целых чисел, число которых бесконечно, включает четные и нечетные числа. Уберите все нечетные числа, и вы могли бы предполагать, будто то, что осталось, составляет половину того, с чего вы начали. Но там остается столько четных чисел, сколько всего было чисел вначале. Это несколько озадачивающее заключение очень легко продемонстрировать. Первое, мы выписываем ряд натуральных чисел, а затем рядом с ним числа, получающиеся в результате удвоения каждого числа из первого ряда. Каждому числу в первом ряду соответствует запись во втором. Как говорят математики, между ними существует соотношение один к одному. Следовательно, два ряда имеют одинаковое количество чисел. Таким образом, в случае бесконечного ряда часть содержит столько же терминов, сколько целое. Таково свойство, которое Кантор использует для определения бесконечных рядов.
На этой основе Кантор развил целую теорию бесконечных чисел. В частности, он показал, что существуют бесконечные числа разной величины, хотя, конечно, не нужно думать о них совершенно таким же образом, как мы говорим об обычных числах. Примером более высокой бесконечности, чем бесконечность ряда натуральных чисел, является ряд действительных чисел, или, как его иногда называют, числовой континуум. Предположим, все десятичные дроби перечислены по величине. Теперь мы составляем новую десятичную дробь, взяв первую цифру из первой записи, вторую цифру из второй записи и так далее и увеличив каждую цифру на один. Получившаяся в результате десятичная дробь отличается от всех десятичных дробей в списке, который мы считали полным. Это показывает, что бесчисленный список не может быть окончательным. Число десятичных дробей бесконечно в более высокой степени, чем число натуральных чисел. Этот так называемый диагональный процесс позднее имел также некоторое значение в символической логике.
Другой вопрос, имеющий особый интерес для логиков, был поднят к концу XIX в. Математики с древнейших времен претендовали на то, что вся их наука как система может быть выведена из единственной отправной точки или, по меньшей мере, из возможно меньшего их числа. Это один из аспектов Сократовой интерпретации Добра. Элементы у Евклида представляют пример того, что требовалось в данном случае, даже если трактовка Евклида несовершенна.
В арифметике небольшой набор постулатов, из которых может быть выведено все остальное, был предложен итальянским математиком Пеано. Основных утверждений пять. Все вместе они определяют класс прогрессий, одним из примеров которых является ряд натуральных чисел. Вкратце эти постулаты утверждают, что преемник каждого числа — это также число и что каждое число имеет одного и только одного преемника. Ряд начинается с нуля, который является числом, но сам не является преемником числа. И наконец, есть принцип математической индукции, посредством которого установлены общие свойства, относящиеся ко всем членам ряда. Этот принцип звучит так: если данное свойство любого числа n имеет также его преемник и число нуль, тогда оно относится к каждому числу ряда.
Со времени Пеано возник новый интерес к вопросам об основах математики. В этой области существуют две противоположные школы мышления. С одной стороны, формалисты, их в основном заботит последовательность ряда; а с другой стороны, институционалисты, которые придерживаются отчасти позитивистской линии и требуют, чтобы мы могли показать то, о чем говорится.
Общей чертой этих математических направлений является их интерес к логике. Казалось, что здесь в ряде случаев логика и математика как бы сливаются. Со времен Канта, который считал логику завершенной наукой, в логической теории произошли большие перемены. В частности, были развиты новые формы трактовки логических доказательств посредством математических формул. Первое систематическое обоснование этого нового способа обращения с логикой было предпринято Фреге (1848-1925), чью работу, однако, совершенно игнорировали в течение двадцати лет, пока я в 1903 г. не привлек к ней внимание. В своей стране он. долго оставался неизвестным профессором математики. И только в последние годы стали признавать его значение как философа.
Математическая логика Фреге берет свое начало в 1879 г. В 1884 г. он опубликовал свои «Основные законы арифметики», в которых этот метод применен для более радикального рассуждения о проблемах, поднятых Пеано. Аксиомы Пеано, несмотря на их компактность, тем не менее неудовлетворительны с логической точки зрения. Несколько спорным выглядело то, что именно эти, а не другие утверждения должны быть основой математической науки. Сам Пеано никогда не заходил так далеко, чтобы рассматривать эти вопросы.
С чего начал Фреге, так это с того, чтобы показать аксиомы Пеано как логическое следствие из своей символической системы. Это должно было сразу удалить некоторый налет произвольности и показать, что чистая математика это просто продолжение логики. В частности, было необходимо получить некоторое логическое определение самого числа. Представление, сводящее математику к логике, просится само из аксиом Пеано, поскольку основной словарь математики ограничивается двумя терминами — «число» и его «преемник». Второй из них — общий логический термин; чтобы свести наш словарь к логической терминологии, мы просто должны дать логическое объяснение первого. Это и сделал Фреге, определяя число посредством чисто логических понятий. Его определение выглядит почти так же, как то, которое дано Уайтхедом и мной в «Principia Mathematica». Там утверждается, что число — это класс всех классов, подобных данному классу. Так, каждый класс из трех объектов — это пример числа три, которое само является классом всех таких классов. Что касается числа в общем, это — класс всех конкретных чисел, и, таким образом, он оказывается классом третьего порядка.
Одной, возможно неожиданной, чертой, вытекающей из этого определения, является то, что числа нельзя складывать. В то время как вы можете сложить тройку яблок с парой груш и получить пять плодов, вы не можете сложить класс всех троек с классом всех двоек. Но, как мы видели, в действительности это не такое уж новое открытие. Уже Платон сказал, что числа не могут быть суммированы.
Анализ математики привел к тому, что Фреге сформулировал различие между смыслом суждения и его произнесением. Это требуется для объяснения того факта, что равенства — это не просто пустые повторения. Две части равенства имеют общее звучание, но различаются по смыслу.
В качестве системы символической логики обоснование Фреге не привлекло большого внимания, отчасти, без сомнения, из-за запутанности записи. Символы, использованные в «Principia Mathematica», кое-чем обязаны символам, применявшимся Пеано, и были найдены более приемлемыми. С тех пор большое количество записей стало использоваться в области математической логики. Одна из самых изящных из них была развита известной польской школой логиков, которая распалась во время последней войны. Подобно этому были сделаны значительные усовершенствования в способе компактности как записи, так и числа фундаментальных аксиом этой системы. Американский логик Шеффер ввел единственную логическую постоянную, в терминах которой, в свою очередь, могли бы быть определены предположительные исчисления. С помощью новой логической постоянной система символической логики могла опираться на единственную аксиому. Но все это — чисто технические вопросы, которые не могут быть объяснены в подробностях здесь.
Математическая логика с чисто формальной стороны не является более делом философов как таковых. Ее взяли в свои руки математики, хотя, конечно, это — математики совершенно особого сорта. Для философа представляют интерес проблемы, которые возникают из общих предположений о символизме, сделанных прежде, чем система приобретает вес. Ему также интересны парадоксальные заключения, к которым иногда приходят при построении символической системы.
Один из таких
