окончательной концепции но-

вой идеи числа, выразившейся в освобождении геометрии от

оптических приемов конструкции и вообще от измеренных

или измеряемых расстояний. Таким образом получил свое

осуществление анализ бесконечного. Неподвижная, так называемая картезианская система координат, идеальный представитель измеримых величин в полуэвклидовском смысле, имевшая еще значение в предшествующий период, как, например, у Николая Оресмского, была не столько закончена благодаря Декарту, но, если заглянуть глубже в его рассуждения, совершенно преодолена им. Его современник Ферма был последним представителем старой классической теории.

Вместо чувственного элемента конкретного отрезка прямой линии и поверхности — специфического выражения античного чувства предела — появляется элемент отвлеченно-пространственный и таким образом совершенно не античный элемент точки, характеризуемой отныне как группа сопряженных чистых чисел. Декарт разрушил литературно унаследованное понятие величины, чувственных размеров и заменил его изменяющейся значимостью отношений положения в пространстве. Однако упускают из вида, что это было равносильным упразднению геометрии вообще, которая с того времени среди мира чисел анализа ведет только призрачное существование, завуалированное античными реминисценциями. В слово «геометрия» вложен неустраняемый аполлоновский смысл. После Декарта так называемая «новая геометрия» превратилась или в синтетический процесс, определяющий посредством чисел положение точек в каком-нибудь пространстве, притом не обязательно трехмерном (в некоторой «множественности точек»), или в аналитический процесс, определяющий числа положением точек. Заменять отрезки прямой положениями — значит воспринимать понятие протяженности чисто пространственно, но уже не телесно.

Классическим примером этого разрушения принятой по

наследству оптически-конечной геометрии, по моему мнению,

является обращение круговых функций, имевших в индийской математике в совершенно малопонятном для нас смысле значение чисел — в циклометрические функции и дальнейшее их разрешение в ряды, утратившие в бесконечной числовой области алгебраического анализа признаки даже самого отдаленного сходства с геометрическими образованиями в стиле Эвклида. Число л, так же как и основание натуральных логарифмов, создает в этой числовой области, повсюду вновь появляясь, отношения, разрушающие всякие границы прежней геометрии, тригонометрии и алгебры, не имеющие

133

ни арифметического, ни геометрического характера, при обращении с которыми притом никто более не думает ни о действительно нарисованных кругах, ни о действительном исчислении степеней.

9

Подобно тому, как античная душа в лице Пифагора около

54 г. выработала свою концепцию аполлоновского числа как

измеримой величины, западноевропейская душа в лице Декарта и его современников (Паскаля, Ферма, Дезарга) в точно соответствующую эпоху открыла идею числа, родившуюся из страстного фаустовского стремления к бесконечному. Число как чистая величина, привязанная к телесному наличию отдельных вещей, имеет параллелью число как чистое отношение. Если определять античный мир, космос, исходя из его внутреннего требования видимой границы, как исчисляемую сумму материальных предметов, то, со своей стороны, наше мирочувствование находит свое выражение в образе бесконечного пространства, в котором все видимое воспринимается как нечто обусловленное по отношению к чему-то безусловному, или даже, пожалуй, как действительность низшего порядка. Его символом является решающее, ни в какой другой культуре не встречающееся понятие функции. Функция не есть какое-то расширение одного из ранее имевшихся числовых понятий; она является их полным преодолением. Таким образом, не только эвклидовская, т. е. общечеловеческая популярная геометрия, но и архимедовская сфера элементарного счисления, т. е. арифметика, перестают существовать для действительной обладающей значением математики Западной Европы. Остается один отвлеченный анализ. Для античного человека геометрия и арифметика были научными комплексами высшего порядка, причем и та и другая были наглядными и обращались с величинами при помощи графических и счетных приемов; для нас они только практические пособия повседневной жизни. Сложение и умножение, эти два античных метода счисления величин, родственных графическому конструированию, совершенно исчезают в бесконечности функциональных процессов. Так, например, степени, по своему принципу являющиеся первоначально просто числовыми обозначениями определенных групп умножений (для множителей одинаковой величины), при посредстве нового символа показателя степени (логарифм) и способа его применения в комплексных, отрицательных и дробных формах становятся совершенно отрешенными от понятия величины и переносятся

134

в трансцендентальный мир отношений, который для грека,

знавшего только две целые степени в качестве изображения

поверхности и тела, является совершенно недоступным (стоит

только припомнить такие выражения, как е-?nvx, а1/ i).

Все глубокомысленные создания, быстро следующие одно

за другим, начиная с эпохи Ренессанса, как-то: мнимые и

комплексные числа, введенные Карданом уже в 1550 г., бес-

конечные ряды, получившие благодаря великому открытию

закона бинома Ньютоном в 1666 г. точное теоретическое

обоснование, открытие логарифмов в 1610 г., дифференцильной геометрии, определенного интеграла Лейбницем, открытие множества как новой числовой единицы, намеченное уже Декартом, новые процессы, как-то: неопределенного интегрирования, развертывание функций в ряды, даже в бесконечные ряды других функций, — все они являются столькими же победами над укоренившимся в нашей душе популярно-чувственным ощущением чисел, которое нужно еще было преодолеть в духе новой математики, имевшей своей целью осуществить новое мирочувствование. Не было еще ни одной другой культуры, которая относилась бы с равным уважением к созданиям иной, давно погибшей культуры и давала такой простор в своей науке ее влияниям, как это делала западноевропейская по отношению к античной. Прошло много времени, пока мы нашли в себе смелость думать своим умом. На первом плане всегда лежало стремление во всем сравняться с античностью. Однако каждый шаг в этом направлении был удалением от намеченного идеала. Поэтому история западноевропейской науки представляет собою картину непрерывной эмансипации от чуждого и освобождения, к которому никто не стремился, но которое вынужденно вырастало из глубины бессознательного. Таким образом, развитие новой математики сложилось в тайную, долгую, наконец, победоносную борьбу против понятия величины.

10

Антикизирующие предрассудки помешали подобающим

образом изобразить западноевропейское число. Усвоенный на-

ми в математике язык знаков ложно отражает действительное

положение вещей, и ему, главным образом, приходится при-

писать то обстоятельство, что даже до настоящего времени

среди математиков распространено воззрение, будто числа

суть величины, а наш способ письменного изображения, несомненно, основан на этой точке зрения.

135

Однако новое число есть не эти отдельные знаки, служащие для выражения функций (х,? 5), но сами функции как

единицы, как элементы, как изменяющиеся отношения, не

допускающие никакого заключения в оптические границы.

Для них была бы нужна новая символика, независимая в своем построении от античных воззрений.

Стоит уяснить себе существенную разницу двух уравнений — так, гетерогенные вещи не следовало бы даже обозначать одинаковым именем, — как следующие: 3x + 4 x = 5 x и x x +y x = z x (уравнение Ферматовой теоремы). Первое состоит из нескольких «античных чисел» (величин), второе само по себе есть число особого рода, причем это обстоятельство затушевано идентичным способом начертания, развившегося под впечатлением эвклидовско-архимедовских представлений. В первом случае знак равенства устанавливает неподвижную связь между определенными, осязаемыми величинами, во втором он выражает отношение, существующее внутри группы изменяющихся образований, причем одни изменения безусловно влекут за собою другие. Первое уравнение имеет целью определение (измерение) конкретной величины, т. е. известное «решение», второе не преследует вообще никакого решения, но является изображением и знаком определенного отношения, исключающего при условии n › 2- в этом и заключается знаменитая Ферматова проблема — с доказуемой вероятностью значения, выражающиеся целыми числами. Греческий математик не понял бы, каков смысл этой операции, не имеющей конечной целью никакого «вычисления».

Понятие неизвестных, будучи применено к буквам Ферматова уравнения, вводит в полнейшее заблуждение. В первом уравнении, в «античном», х есть величина определенная и измеряемая, которую предстоит определить. Во втором, в применении к х, у, z, n слово «определять» не имеет никакого смысла, следовательно, имеется в виду отыскать «значение» этих символов, следовательно, они вообще не являются числами в пластическом смысле, но знаками для определенного отношения, лишенного признаков величины, формы и единой значимости, для бесконечного множества возможных положений одинакового характера, и эти возможности, воспринятые, как нечто единое, и есть число. В нашем способе

начертания, применяющем, к сожалению, многочисленные и

сбивающие с толку знаки, все это уравнение является в действительности одним числом, а х, у, z являются числом в такой же малой мере, как + или =.

Уже введение понятия иррациональных, в сущности своей совершенно антиэллинских чисел, в самой его основе

136

разрушило понятие конкретных, определенных чисел. С этого момента числа перестали быть обозримым рядом возрастающих, раздельных, пластических величин и превратились в непрерывность одного измерения, каждое сечение которой (выражаясь словами Дедекинда) представляет «число, едва ли по праву заслуживающее прежнее наименование». Для античного разумения между 1 и 3 существует только одно число, для западноевропейского — бесконечное множество. Наконец, вместе с введением в употребление мнимых (v-1= i) и комплексных чисел (изображаемых общей формулой а + bi), расширяющих линейную непрерывность до пределов в высшей степени трансцендентального образования числового тела (некоторая совокупность множества однородных элементов), каждое сечение которого представляет собою числовую плоскость, — некое бесконечное множество меньшей «мощности», вроде совокупности всех реальных чисел, — исчезли даже последние остатки антично-популярной осязаемости. Эти числовые плоскости, играющие начиная с Коши и Гаусса видную роль в теории функции, являются чисто умственными образованиями. Еще положительные иррациональные числа, как v2, могли быть усвоены античным числовым мышлением по крайней мере негативным путем, причем их не считали бы за числа, как??? или? но выражения вида х + уi лежат по ту сторону всех возможностей античного мышления. На распространении арифметических законов на всю область комплекса, в пределах которого они имеют постоянную применимость, основана теория функций, отныне выражающая западноевропейскую математику во всей ее чистоте, причем все отдельные области ею поглощаются и в ней растворяются. Только таким образом эта математика становится вполне применимой к картине одновременно развивающейся динамической физике Запада, в то время как античная математика является точным коррелатом пластического мира отдельных предметов, изображенного в статической физике Аристотеля, представляющей собой научную интерпретацию античного космоса.

Классической эпохой этой математики барокко — в противоположность математике ионического стиля — является XVIII век; она начинается с решительных открытий Ньютона и Лейбница, и через Эйлера, Лагранжа, Лапласа и д’Аламбера простирается до Гаусса. Расцвет этого великого создания мысли был похож на чудо. Едва решались верить тому, что видели. Открывали истины за истинами, казавшиеся проницательным умам скептически настроенной эпохи невозможными. Такое значение имеют слова д’Аламбера: «Allez en

137

avant et la foi vous viendra». Они касались теории дифференциальных дробей. Казалось, сама логика восстает против этого, казалось, все предположения основаны на ошибках, и все же цель была достигнута.

Это столетие восторженного опьянения одухотворенными, недоступными телесному глазу формами, — ведь рядом с

упомянутыми мастерами анализа стоят Бах, Глюк, Гайдн и Моцарт, причем упивался этими утонченными открытиями и

игрой форм только небольшой круг избранных, куда не имели доступа ни Гёте, ни Кант, — вполне соответствует по своему содержанию столетию зрелости ионической эпохи, столетию Платона, Архита и Евдокса (450–350 гг.) — и опять следует прибавить Фидия, Поликлета, Алкамена и постройки Акрополя, — когда мир форм античной математики и пластики достиг полного расцвета своих возможностей и также своего завершения.

Теперь представляется возможным обозреть изначальную

противоположность античной и западной