Возьмем вместо круга шестиугольник,
вписанный в круг АВН, и пусть тело С на одной стороне АВ
находится в покое, затем представим себе
линейку DBE (один конец которой укреплен в
центре D, а другой подвижен), которая
движется вокруг центра и притом постоянно
пересекает линию АВ. Очевидно, что при
таком движении линейки DBE она встретит
тело С в то мгновение, когда она пересечет
линию АВ под прямым углом, и что своим
толчком она заставит тело С двигаться по
прямой линии FBAC по направлению к С, т.е.
по стороне АВ, продолженной в
бесконечность. Но мы взяли здесь
шестиугольник совершенно произвольно, то же верно и для всякой
иной фигуры, которую можно себе представить вписанной в круг.
Именно, если тело С, находящееся в покое на одной стороне фигуры,
получит толчок от линейки DBE в то мгновение, когда она
пересекает эту сторону под прямым углом, то тело будет приведено
__________________
* Это очевидно из т. 18 и 19, кн. III «Элементов» Эвклида,
241
линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной
в бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим
себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т.е.
круг, по определению Архимеда), то очевидно, что линейка DBE, где
бы она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она
пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому
она никогда не встретит тела С, не приведя его одновременно в
движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но
так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям,
всегда должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно
продолженная сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т.е.
круга, будет всегда касательной. Если же представить себе вместо
линейки пращу, движущуюся в круге, то она постоянно будет
приводить камень в движение в направлении касательной, что и
требовалось доказать.
Следует заметить, что оба доказательства можно отнести к
любой криволинейной фигуре.
Теорема 17
Всякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от
центра круга, который оно описывает.
Доказательство. Пока тело движется по кругу, оно приводится в
движение внешней причиной, с прекращением которой оно
продолжает двигаться в направлении
касательной (по предыдущей теореме),
все точки которой, кроме той, где она
касается круга, лежат вне круга (по т. 16,
кн. II «Элементов» Эвклида) и потому
дальше отстоят от него. Поэтому камень,
находящийся в праще ЕА и движущийся
по кругу, когда он находится в точке А,
стремится двигаться по прямой, все
точки которой отстоят от центра Е
дальше, чем все точки окружности LAB,
т.е. он стремится удалиться от центра
описываемого им круга, что и требовалось доказать.
242
Теорема 18
Если тело, например А, движется к покоящемуся телу В, а В,
несмотря на толчок А, не теряет своего покоя, то и В не потеряет
ничего из своего движения, но удержит вполне то же количество
движения, какое оно имело раньше.
Доказательство. Если кто оспаривает это, то допустим, что тело
А теряет нечто из своего движения, не перенося потерянного
движения на другое тело, например В. Тогда в природе окажется
меньшее количество движения, чем прежде, что нелепо (по т. 13,
ч. II). Таково же доказательство в отношении к покою тела
В. Поэтому если ни одно из обоих тел ничего не переносит на другое,
то В сохранит весь свой покой, а A все свое движение, что и
требовалось доказать.
Теорема 19
Движение, рассматриваемое само по себе, отлично от своего
определения следовать в том или другом направлении к
определенному месту, и вовсе не необходимо, чтобы тело,
движущееся или отталкиваемое в противоположную сторону,
некоторое время покоилось.
Доказательство. Предположим, как в предыдущей теореме, что
тело А движется по прямой линии к телу В и удерживается от
дальнейшего движения телом В. При этом оно (по предыдущему)
сохранит все свое движение и ни минуты не будет в покое. Но при
продолжении своего движения оно не может удержать прежнего
направления, так как, по допущению, оно задержано телом
В. Поэтому оно, не уменьшая своего движения, но лишь изменяя
свое направление, будет двигаться в противоположном направлении
(согласно сказанному в гл. 2 «Диоптрики»)
12
. Поэтому (по
акс. 2) направление не принадлежит сущности движения, но отлично
от нее, и движущееся тело, отталкиваясь таким образом, ни минуты
не остается в покое, что и требовалось доказать.
Королларий. Отсюда следует, что ни одно движение не
противоречит другому.
243
Теорема 20
Если тело А встречает тело В и увлекает его за собой, то А
потеряет столько движения, сколько В при этой встрече получит
от А.
Доказательство (см. фиг. 1). Если кто-нибудь оспаривает это, то
он тем самым допускает, что В получает больше или меньше
движения, чем А теряет, тогда вся эта разница должна увеличить или
уменьшить количество движения всей природы, что (по т. 13, ч. II)
нелепо. Таким образом, если тело В не может получить ни меньше,
ни больше, то оно может получить лишь столько, сколько А теряет,
что и требовалось доказать.
Теорема 21
Если тело А вдвое больше тела В и движется с такой же
скоростью, то тело А будет иметь вдвое больше движения, чем В,
или вдвое больше силы, чтобы удержать равную с В скорость (см.
фиг. 1).
Доказательство. Предположим, например, вместо А два В, т.е.
(по допущению) А, разделенное на две части; тогда каждое из этих
двух В будет иметь силу оставаться в том состоянии, в котором оно
находится (по т. 14, ч. II), и эта сила в обоих одинакова (по
предположению). Если же оба эти В связаны, то возникнет одно А,
сила которого или количество равны обоим В, или вдвое больше
одного В, что и требовалось доказать.
Впрочем, это следует также из простого определения движения.
Именно, чем больше движущееся тело, тем более материи может
отделиться от другого тела, следовательно, будет более
отделения, т.е. (по опр. 8) более движения. См. наше четвертое
замечание относительно определений движения.
Теорема 22
Если тело А равно телу В и движется вдвое скорее В, сила или
движение в А будет вдвое больше, чем в В.
Доказательство. Допустим, что тело В при первоначальном его
приведении в движение получило четыре
244
степени скорости. Если к этому ничего не присоединится, то оно
будет продолжать свое движение (по т. 14, ч. II) и оставаться
(perseverare) в своем состоянии. Теперь предположим, что оно
благодаря новому толчку, равному первому, получает новую силу;
тогда кроме первых четырех степеней оно получит новые четыре
степени скорости, которые оно также удержит (по той же теореме),
т.е. оно будет двигаться вдвое скорее или со скоростью, равной А, и
одновременно будет иметь силу вдвое больше прежней, т.е. равную
силе А. Следовательно, движение А вдвое больше движения В, что и
требовалось доказать.
Надо заметить, что под силой в движущихся телах мы разумеем
здесь количество движения, которое в телах равной величины
должно возрастать со скоростью движения, поскольку
посредством этой скорости равновеликие тела в равное время
больше отделяются от непосредственно прилегающих тел, чем при
более медленном движении, и потому (по опр. 8) обладают большим
движением. Напротив, в покоящихся телах под силой сопротивления
понимают количество покоя. Отсюда следует:
Королларий 1. Чем медленнее движутся тела, тем более они
причастны покою, ибо они более сопротивляются встречным телам,
движущимся быстрее и имеющим силу, меньшую, чем они сами, а
также менее отделяются от непосредственно прилегающих тел.
Королларий 2. Если тело А движется вдвое скорее тела В, а В
вдвое больше А, то в большем В столько же движения, как в
меньшем А, следовательно, сила в обоих одинакова.
Доказательство. Если В вдвое больше А, а A движется вдвое
скорее В, и далее С вдвое меньше В и движется вдвое медленнее А,
то (по т. 21, ч. II) В будет иметь вдвое большее движение и (по т. 22,
ч. II) А — вдвое большее движение, чем С, следовательно (по
акс. 15), А и В будут иметь равное движение, так как движение обоих
вдвое больше С, что и требуется доказать.
Королларий 3. Отсюда следует, что движение отлично от
скорости. Ибо очевидно, что из двух тел, имеющих равную
скорость, одно может иметь вдвое большее движение, чем другое (по
т. 21, ч. II), и наоборот, тела с неравной скоростью могут иметь
равное движение (по предыдущему королларию). Впрочем, это
очевидно также из
245
простого определения движения, так как оно представляет лишь
перенос тела из соседства и т.д.
Однако здесь надо заметить, что этот третий королларий не
противоречит первому. Ибо скорость можно понимать двояким
образом: или по тому, как одно тело более или менее отделяется от
непосредственно прилегающего тела в равное время и поэтому
более или менее участвует в покое или движении, или по тому, как
оно в равное время описывает большую или меньшую линию и
постольку отличается от движения.
Я мог бы здесь прибавить еще другие теоремы, чтобы лучше
выяснить т. 14, ч. II и объяснить силы вещей во всяком состоянии,
как это сделано здесь относительно движения. Но достаточно
перечитать § 43, ч. II «Начал» и прибавить здесь лишь одну
теорему, необходимую для понимания следующего.
Теорема 23
Если модусы какого-либо тела принуждены испытать перемену,
то эта перемена всегда будет наименьшей.
Доказательство. Эта теорема довольно очевидно вытекает из
теоремы 14, ч. II.
Если два тела, например А и В (см. фиг. 1), вполне равны друг
другу и движутся друг к другу с равной скоростью, то при встрече
их каждое отразится в противоположную сторону, не теряя своей
скорости.
В этом предположении ясно, что для устранения
противоположности этих двух тел или оба они должны отразиться в
противоположном направлении, или одно должно увлечь за собой
другое, так как они противоположны друг другу не в отношении
движения, а лишь направления.
Доказательство. Если А и В сталкиваются, то они должны
испытать некоторое изменение (по акс. 19). Но так как одно
движение не противоположно другому (по кор. к т. 19, ч. II), то они
нисколько не должны терять свое движение (по акс. 19). Поэтому
изменение коснется
246
лишь направления. Но нельзя себе представить, что меняется лишь
направление одного из этих тел, например В, в том случае, если А, от
которого оно должно получить изменение, не будет предположено
сильнее В (по акс. 20). Но последнее было бы противно допущению.
Поэтому если перемена направления может произойти лишь у
одного тела, то она произойдет у обоих, причем A и В отразятся в
противоположном направлении (по изложенному в «Диоптрике»,
гл. 2), но сохранят все свое движение, что и требовалось доказать.
Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А (см.
фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними,
то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с
равной скоростью.
Доказательство. Поскольку А предполагается меньше В, то оно
имеет также меньшую силу, чем В (по т. 21, ч. II). Но так как при
этом предположении, так же как и в предыдущем, противоположны
лишь направления, и потому, как показано в предыдущей теореме,
изменение может касаться только направления, то оно произойдет
только в А, а не в В (по акс. 20); поэтому только А будет отражено
более сильным В в противоположном направлении, не теряя, однако,
нисколько своей скорости, что и требовалось доказать.
Теорема 26
Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости,
именно В вдвое больше А (см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В,
а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в
противоположном направлении и каждое удержит прежнюю
Доказательство. Так как А и В по предположению движутся друг
против друга, то в одном столько же движения, как и в
