другом (по
кор. к т. 22, ч. II). Поэтому движение одного не противоречит
движению другого (по кор. к т. 19, ч. II) и силы обоих равны (но кор.
2 к т. 22, ч. II). Таким образом, это предположение совер-
247
шенно подобно предположению т. 24, и потому, согласно
предыдущему доказательству, А и В отразятся в противоположном
направлении, и каждое при этом сохранит всю свою скорость, что и
требовалось доказать.
Королларий. Из трех последних теорем очевидно, что
направление тела требует для своей перемены столько же силы, как
изменение движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более
половины своего определения следовать в данном направлении и
более половины своего движения, испытывает большую перемену,
чем тело, теряющее все свое определение.
Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А,
то не только А отразится в противоположном направлении, но и В
перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут
продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.
Доказательство. А (по допущению) противоположно В не только
по своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя
причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым
отражением в противоположном направлении изменяется только
направление, но не устраняется вся противоположность обоих тел.
Следовательно (по акс. 19), перемена должна наступить как в
направлении, так и в движении, и так как В по допущению движется
скорее А, то В (по т. 22, ч. II) сильнее А, и потому (по
акс. 20) перемена в А произойдет через В, и А будет посредством В
отражено в противоположном направлении. Это первое. Далее, А,
пока оно движется медленнее В, противоположно последнему (по
кор. 1 к т. 22, ч II), следовательно, должна наступить перемена (по
акс. 19), по которой А не будет двигаться медленнее В. Но А не
принуждается при этом допущении никакой достаточно сильной
причиной к тому, чтобы двигаться скорее В.
Таким образом, если А не может двигаться медленнее В, так как
оно сталкивается с В, ни скорее В, то А должно двигаться с такой же
скоростью, как В. Но, если бы В переносило на А менее половины
своего излишка скорости, то А продолжало бы двигаться медленнее
В; а если бы В переносило более половины своего излишка скорости
на
248
А, то А двигалось бы скорее В. Но, как уже показано, то и другое
нелепо. Поэтому перемена будет происходить лишь, пока В не
перенесет на А половину своей большей скорости, которую В должно
потерять (по т. 20, ч. II), и, следовательно, оба будут продолжать
движение с равной скоростью в том же направлении без всякого
противоречия, что и требовалось доказать.
Королларий. Отсюда следует, что, чем скорее движется тело, тем
более оно определено продолжать движение в направлении линии
своего следования, и наоборот, чем оно медленное движется, тем
менее оно склонно к этому.
Схолия. Для того чтобы читатели не смешали здесь силу
направления с силой движения, кажется, неплохо прибавить
несколько замечаний, отчего станет яснее различие обоих. Итак, если
предположить, что тела А и С равной величины и движутся с равной
скоростью прямо друг против друга, то оба (по т. 24, ч. II) отразятся
в противоположном направлении, удержав все свое движение. Если
же тело С находится в B и движется косвенно к А, то, очевидно, оно
ужо менее склонно двигаться в направлении BD или С А (см.
фиг. 13). Поэтому оно, правда, имеет одинаковое движение с А, но
сила направления тела С, если оно движется прямо по направлению к
В, которая тогда одинакова с силой направления А, больше силы
направления С, если оно движется от В к А, а именно настолько
больше, насколько линия В А больше С А. Ибо, чем больше линия С
А, тем более времени (именно, если В и А движутся, как здесь
допущено, с одинаковой скоростью) требует В, чтобы двигаться в
направлении BD или С А, по которому оно движется прямо
противоположно направлению тела А. Итак, если С идет из В
навстречу А косвенно, то оно направляется так, как будто оно
продолжало двигаться в направлении АВ’ к В’ (я предполагаю, что,
когда С находится в точке, где линия АВ’ пересекает продолженную
линию ВС, то эта точка отстоит от С так же далеко, как С от В).
Напротив, А удерживает все свое движение и направление и
продолжает свое движение к С и захватит тело В с собой, так как В,
имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует
больше времени, чем А, для прохождения части линии АС и лишь
постольку противоположно направлению более сильного тела А. Но
сила направления С, движущегося из В к А, поскольку оно совпадает
с линией
249
С А, равна силе направления С, когда оно движется прямо к А (пли,
по допущению, силе самого А). Поэтому В должно иметь настолько
степеней движения больше А,
линии С А, так что, если С
направляется к А косвенно, А
отразится в противоположном
направлении к А’, а В к В’,
причем каждое тело удержит все
свое движение. Если же излишек
движения В над А больше
излишка линии В А над С А, то В
оттолкнет тело А к А’ и сообщит
ему столько своего движения,
сколько нужно, чтобы движение
В относилось к движению А, как
линия В А к линии С А, а В
потеряет столько движения,
сколько перенесет на А, и будет с остатком его продолжать свое
движение в прежнем направлении. Если, например, линия АС
относится к АВ, как 1 к 2, а движение тела А к движению тола В, как
1 к 5, то В сообщит одну степень своего движения А и оттолкнет его
в противоположном направлении, а В с остальными четырьмя
степенями будет продолжать свое движение в том же направлении,
как прежде.
Теорема 28. Четвертое правило.
Если тело А (см. фиг. 1) находится в совершенном покое и
немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость,
никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в
противоположном направлении и удержит при этом свое движение
неизменным.
Надо заметить, что противоположность между этими телами
может быть устранена тремя способами: или так, что одно тело
увлечет другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному
направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном
направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно
оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть
своего движения на другой. Четвертого случая
250
не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II)
доказать, что эти тела при нашем предположении испытают
наименьшую перемену.
Доказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали
бы двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20,
ч. II) перенести на А столько своего движения, сколько А
приобретает, и (по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять
больше половины своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II)
потерять больше половины своего направления. Таким образом, оно
(по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы
оно потеряло только свое направление. А если бы А потеряло часть
своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со
скоростью, равной В, то противоположность между обоими телами
не была бы устранена. В самом деле, А своей медленностью,
поскольку оно причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II),
противостояло бы скорости В, следовательно, В также должно бы
отразиться в противоположном направлении, причем В потеряло бы
все свое направление и часть своего движения, перенесенную на А;
эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое
направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем
предположении и касающаяся только направления, будет наименее
возможной для этого тела, так что (по т. 23, ч. II) никакой другой не
может произойти, что и требовалось доказать.
Надо заметить при доказательстве этой теоремы, что то же
самое имеет место и в других случаях, именно мы не привели т. 19,
ч. II, в которой доказывается, что направление может полностью
измениться, причем само движение ничего не теряет. Однако на это
надо обратить внимание, чтобы правильно понять силу
доказательства. Ибо в т. 23, ч. II мы не сказали, что перемена
безусловно всегда будет наименьшей, но лишь возможно
наименьшей. Но то, что возможна перемена только в одном
направлении, как предполагается в этом доказательстве, очевидно
из т. 18 и 19, ч. II с кор.
Если покоящееся тело А (см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы
медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет
часть своего движения на А, а именно столько,
251
что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью (см. § 50,
ч. II «Начал»).
Для этого правила, как и в предыдущем случае, также можно
представить лишь три случая, в которых устраняется настоящая
противоположность. Но мы докажем, что при моем предположении
происходит наименьшая перемена в телах, и потому (по т. 23, ч. II) они
должны измениться таким образом.
Доказательство. По нашему предположению, В переносит на А
(по т. 21, ч. II) менее половины своего движения и (но кор. к т. 17,
ч. II) менее половины своего направления. Но если бы В но
захватывало за собой А, но отталкивало его в противоположном
направлении, то оно потеряло бы все свое направление и перемена
была бы больше (по кор. к т. 26, ч. II); она была бы гораздо больше,
если бы В потеряло все свое направление и, кроме того, еще часть
своего движения, как предполагается в третьем случае. Поэтому
предположенная мною перемена будет наименьшая, что и
требовалось доказать.
Если покоящееся тело А совершенно равно движущемуся к нему
телу В, то оно частью будет увлекаться им, частью тело В будет
отталкиваться телом А в противоположном направлении.
И здесь, как в предыдущем случае, можно представить себе лишь
три возможности, и потому я должен доказать, что при нашем
предположении имеет место возможно меньшая перемена.
Доказательство. Если тело В увлекает за собою тело А так, что
оба начинают двигаться с равной скоростью, то в одном будет
столько же движения, сколько в другом (по т. 22, ч. II и по кор. к
т. 27, ч. II). Тело В в этом случае должно потерять половину своего
направления, а также (по т. 20, ч. II) половину своего движения. Если
же В отталкивается телом А в противоположную сторону, то оно
потеряет все свое направление, но удержит все свое движение (по
т. 18, ч. II): но эта перемена равна предыдущей (но кор. к т. 26, ч. II).
Но ни то, ни другое не может произойти, ибо если бы А удерживало
свое состояние и могло изменить направление В, то А должно быть
(по акс. 20) сильнее В, что было бы противно пред-
252
положению. Если же В увлекло бы с собой А, пока оба не стали бы
двигаться с равной скоростью, то В было бы сильнее А, что также
противоречит допущению. Но так как ни одно из двух не может
иметь места, то остается лишь третье, именно, что В подвигает тело
А немного далее и само немного отталкивается им, что и требовалось
