(см. § 51, ч. II «Начал»).
Если В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В,
следуя за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если
при этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка
величины А, то В перенесет на А столько своего движения, что
после этого оба тела будут двигаться с равной скоростью и в том
же направлении. Ио если бы излишек величины А был больше
излишка скорости В, то В было бы отражено телом А в
противоположном направлении, но удержало бы при этом все свое
Прочти § 52, ч. II «Начал». Здесь, как и раньше, можно себе
представить лишь три случая.
Доказательство первой части. Тело В не может отталкиваться
телом А в противоположном направлении, так как В предполагается
сильнее А (по т. 21 и 22, ч. II и акс. 20), следовательно В, будучи
сильнее, увлечет с собой А, притом так, что оба тела будут двигаться
с равной скоростью. Ибо тогда наступит возможно меньшая
перемена, как это очевидно из вышесказанного.
Доказательство второй части. Тело В в этом случае не может
увлечь А, так как оно (по т. 21 и 22, ч. II) предполагается слабое (по
акс. 20); оно не может также сообщить ему части своего движения.
Поэтому В (по кор. к т. 14, ч. II) сохранит все свое движение, но не в
том же направлении, так как предполагается, что оно в этом
встречает препятствие со стороны А. Таким образом, В отразится (по
сказанному в гл. 2 «Диоптрики») в противоположном направлении,
но удержит при этом все свое движение (по т. 18, ч. II), что и
требовалось доказать.
Надо заметить, что и здесь, и в предыдущих теоремах мы
считали доказанным, что всякое тело, встречающее по прямой
линии другое, которое безусловно препятствует
253
ему продолжать движение в том же направлении, должно
двигаться в противоположном и ни в каком ином направлении.
Чтобы убедиться в этом, прочти гл. 2 «Диоптрики».
Схолия. До сих пор для объяснения перемен, испытываемых
телами при столкновении, я рассматривал лишь два тела, как будто
они полностью отделены от всех других тел, и я не обращал
внимания на окружающие их тела. Теперь я намерен исследовать их
состояние и их перемены, принимая в расчет окружающие их тела.
Теорема 32
Если тело В окружено малыми движущимися телами,
толкающими его по всем направлениям с равной силой, то оно будет
оставаться неподвижно на одном и том же месте, пока не
присоединится еще другая причина.
Доказательство. Эта теорема очевидна само собой, ибо если бы
тело от толчка телец, движущихся с одной стороны, двигалось в
одном направлении, то движущие его тельца должны бы были
толкать его с большей силой, чем толкающие его одновременно
тельца с другой стороны, которые не могут устранить своего
действия (по акс. 20), что шло бы против допущения.
Теорема 33
При вышеизложенных условиях от приложения малейшей силы
тело В может двигаться по всякому направлению.
Доказательство. Все тела, непосредственно прилегающие к В,
будучи подвижны (по допущению), а В неподвижно (по т. 32), тотчас
при соприкосновении с В отразятся в другую сторону, не теряя
своего движения (по т. 28, ч. II). Поэтому В будет постоянно само
оставляемо непосредственно прикасающимися телами, и, как бы
велико ни было В, не нужно никакой силы для отделения его от
непосредственно соприкасающихся тел (согласно четвертому из
наших замечаний к опр. 8). Поэтому даже малейшая внешняя сила,
могущая сообщиться телу В, всегда больше той, которая стремится
удержать его на своем месте (ибо мы уже доказали, что ему не при-
254
суща никакая сила, которая могла бы удержать его у
непосредственно касающихся тел). Вместе с тем сила телец,
толкающих В в том же направлении, больше силы других телец,
толкающих В в противоположном направлении (так как сила и тех и
этих предполагается одинаковой, если не прилагается никакая
внешняя сила). Таким образом, тело В (по акс. 20) будет приводиться
в движение этой внешней силой, как бы она ни была мала, притом в
любую сторону, что и требовалось доказать.
Теорема 34
Тело В при этих условиях не может двигаться быстрее, чем оно
побуждается внешней силой, хотя бы окружающие его частицы
двигались гораздо быстрее.
Доказательство. Тельца, которые одновременно с внешней силой
толкают тело В в том же направлении, хотя бы они двигались
гораздо быстрее, чем может двигать В внешняя сила, все-таки (по
предположению) не будут иметь большей силы, чем тельца,
толкающие В в противоположную сторону, и потому их общая сила
будет истрачена на сопротивление последним тельцам, причем они
не перенесут на В (по т. 32, ч. II) какой-либо скорости. Но так как
никакие иные условия или причины не предполагаются, то В получит
свою скорость лишь от этой внешней причины, и потому оно (по
акс. 8, ч. 1) не может двигаться скорее, чем будучи приведено в
движение внешней силой, что и требовалось доказать.
Теорема 35
Если тело В приводится в движение внешним толчком, то оно
получает большую часть своего движения от постоянно
окружающих его тел, а не от внешней силы.
Доказательство. Каким бы большим ни предполагалось В, оно
все-таки приводится в движение малейшим толчком (по т. 33, ч. II).
Теперь предположим, что В вчетверо больше внешнего тела, сила
которого дает ему толчок; тогда оба (по предыдущей теореме) будут
двигаться с равной скоростью, и в В будет вчетверо больше
движения, чем во внешнем теле,
255
толкающем его (по т. 21, ч. II). Поэтому оно получит большую часть
своего движения (по акс. 8, ч. 1) не от внешнего тела. А так как сверх
этого не предполагается никаких иных причин, кроме окружающих В
тел (само В предположено неподвижным), то оно получит (по акс. 7,
ч. 1) большую часть своего движения только от окружающих его тел,
а не от внешней силы, что и требовалось доказать.
Надо заметать, что мы здесь не можем сказать, как выше, что
движение частиц, идущих из одного направления, необходимо для
сопротивления движению частиц, идущих с противоположной
стороны. Ибо тела, идущие друг против друга с равным движением
(как здесь предположено), противоположны одно другому лишь по
направлению *, а не по движению (по кор. к т. 9, ч. II). Поэтому на
взаимное сопротивление они расходуют лишь свое направление, а не
движение, так что тело В не может получить от окружающих его
тел ни своего направления, ни (по кор. к т. 27, ч. II) своей скорости,
поскольку она отличается от движения, но лишь свое движение.
Даже если появится внешняя причина, тело необходимо должно
приводиться в движение другими телами, как мы доказали в этой
теореме и как это очевидно из способа, которым доказана т. 33.
Теорема 36
Если бы тело, например наша рука, могла двигаться по любому
направлению с равным движением, нисколько не противодействуя
другим телам и не встречая противодействия со стороны других
тел, то в пространстве, по которому она движется, необходимо
будет двигаться столько же тел в одном направлении, сколько во
всяком другом, со скоростью, равной скорости руки.
Доказательство. Тело не может двигаться через пространство,
которое наполнено телами (но т. 3, ч. II). Поэтому я говорю, что
пространство, через которое наша рука может двигаться, наполнено
телами, которые будут
__________________
* См. т. 24, ч. II, где показано, что два тела, оказывающие взаимное
сопротивление, расходуют на него свое направление, а не свое
256
двигаться по указанным условиям. Если кто оспаривает это, то мы
допустим, что тола находятся в покое или движутся другим образом.
Находясь в покое, они необходимо будут оказывать сопротивление
движению нашей руки до тех пор (по т. 14, ч. II), пока ее движение не
сообщится им, и они будут двигаться с нею в том же направлении и с
одинаковой скоростью (по т. 20, ч. II). Но мы предположили, что они не
оказывают сопротивления, следовательно, эти тела движутся. Это первое.
Далее, они должны двигаться по всем направлениям. Если кто это
оспаривает, то допустим, что они не движутся в одном направлении,
например от А к В. Таким образом, если рука движется от А к В, то она
неизбежно встретится с движущимися телами (по первой части этого
доказательства), притом, как мы допустили, с телами, движущимися в ином
направлении, чем рука. Поэтому они будут ей оказывать сопротивление (по
т. 14, ч. II) до тех пор, пока они не будут двигаться в одинаковом
направлении с рукой (по т. 24 и сх. к т. 27, ч. II). Но тела (по допущению) но
оказывают ей сопротивления, следовательно, они будут двигаться по всем
направлениям. Это второе.
Затем эти тела будут двигаться в любом направлении с одинаковой
степенью (vis aequalis) скорости. Если же допустить, что это происходит не
с равной скоростью, то этим предполагается, что тела движутся от А к В не
с такой степенью скорости, как тела, движущиеся от А к С. Поэтому, если
бы рука двигалась с той же скоростью (так как допускается, что она может
двигаться равным движением без сопротивления по всем направлениям),
как тела движутся от А к С, то тела, движущиеся от А к В, оказывали бы
руке сопротивление (по т. 14, ч. II) до тех пор, пока они но станут двигаться
с одинаковой скоростью, как и рука (по т. 31, ч. II). Но это противно
допущению, поэтому тела будут двигаться с равной силой и скоростью по
всем направлениям. Это третье.
Если, наконец, тела двигались бы не с одинаковой степенью скорости, по
сравнению с рукой, то рука должна
257
была бы двигаться или медленнее, т.е. с меньшей скоростью, или
скорее, т.е. с большей скоростью, чем тела. В первом случае рука
будет оказывать сопротивление толам, следующим за ней в том же
направлении (по т. 31, ч. II). В последнем случае тела, за которыми
следует рука и движется с ними в одном направлении, будут
оказывать ей сопротивление (по той же теореме). Но то и другое
противно допущению. Поэтому, если рука не может двигаться ни
медленнее, ни быстрее, то она должна двигаться с одинаковой
степенью скорости, как и тела, что и требовалось доказать.
Если не ясно, почему я говорю «с одинаковой степенью
скорости», а не просто «с одинаковой скоростью», то надо
прочесть сх. к кор., т. 27, ч. II. А если не ясно, почему рука, двигаясь,
например, от А к В, не противится телам, которые одновременно с
равной силой движутся от В к А, то надо прочесть т. 33, ч. II. Из
нее видно, что сила этих тел уравновешивается силой тех тел,
которые одновременно с рукой движутся от А к В (так как эта
сила по части этой теоремы равна той).
Теорема 37
Если какое-нибудь тело, например А, может в результате
приложения малейшей силы двигаться в любом направлении, то оно
необходимо окружено телами, которые движутся с равной между
собою скоростью.
Доказательство. Тело А должно быть окружено со всех сторон
телами (по т. 6, ч. II), которые движутся
равномерно по всем направлениям. Ибо если бы они находились в
покое, то А не могло бы двигаться в результате приложения
малейшей силы по любому направлению (как предположено); по
меньшей мере эта сила должна быть так велика, чтобы она могла
двигать за собой тела, непосредственно соприкасающиеся с А (по
акс. 20, ч. II). Далее, если бы тела, окружающие тело А, двигались в
одном направлении с большей силой, чем в другом, например от
