игроком,
который, угадав, получит известную сумму, а не угадав, проиграет
такую же сумму, то в этом случае, говорю я, шансы у обоих равны:
как у того, кто держит номер, так и у того, кому предоставляется
угадывание его. Далее, если один игрок протягивает руку, а другой
должен с одного раза угадать один из трех номеров, причем
последний выигрывает
531532
в случае удачи известную сумму, а в случае неудачи проигрывает
только половину ее, то вероятность и шансы обоих опять равны.
Точно так же шансы будут равны и в том случае, если тот, кто
протягивает руку, дает противнику возможность угадывать два раза, с
тем чтобы, выиграв, отгадчик удержал сумму, вдвое меньшую той,
которой он рискует в случае проигрыша.
Далее, вероятность и шансы игроков будут равны и в том случае,
когда при четырех номерах одному из игроков позволяется угадывать
три раза, причем сумма, проигрываемая этим игроком, втрое больше
того, что он мог бы выиграть; или — когда он угадывает четыре раза
на пять номеров, проигрывая вчетверо больше того, что может
выиграть, и т.д. Отсюда следует, что для протягивающего руку все
равно, сколько раз противник его будет угадывать, только бы за
каждый лишний раз угадывания он рисковал суммой,
представляющей собой число угадываний, разделенное на число всех
угадываемых номеров. Так что если число всех номеров 5, а угадывать
можно лишь один раз, то один из игроков ставит х/3 против 4/5. Если
игрок угадывает дважды, то он ставит 2/5 против 3/5; если трижды — 3/5
против 2/5 и т.д.; 4/5 против 1/5 и 5/5 против 0/5. Следовательно, для того,
кто предоставляет другому угадывать, если он, например, рискует х/6
частью суммы в расчете выиграть 5/6 ее, должно быть безразличным,
угадывает ли один противник пять раз или пять человек угадывают
каждый по одному разу, — в чем и заключался Ваш вопрос.
[Ворбург] 1 октября 1666 г.
ПИСЬМО 39 212
Просвещеннейшему и благоразумнейшему
мужу Яриху Иеллесу 213
от Б. д. С.
Различные обстоятельства помешали мне ответить на Ваше письмо
ранее. Замечания Ваши о «Диоптрике» Декарта 215 я прочитал.
Единственную причину того, что получающиеся на дне глаза
изображения бывают то боль-
532533
шей, то меньшей величины, он усматривает в пересечении лучей,
идущих от различных точек предмета, смотря по тому, насколько
далеко от глаза начинается сближение этих лучей. Что же касается
величины угла, образуемого этими лучами при пересечении их на
поверхности глаза, то он не обращает на это внимания. И хотя эта
последняя причина имеет важнейшее значение для телескопов, однако
Декарту угодно было обойти ее молчанием. Происходит это, как я
полагаю, оттого, что ему был неизвестен способ собирать лучи,
параллельно идущие от разных точек, в стольких же других точках,
вследствие чего он не имел возможности математически определить
образуемый угол. Быть может, Декарт
умолчал об этом и потому, что не хотел
отдать предпочтение кругу перед другими
им введенными фигурами, между тем не
подлежит сомнению, что в данном случае
круг действительно лучше всех других
фигур, какие мы только можем себе
представить. Ибо так как круг везде
одинаков, то он везде имеет одни и те же
свойства. Если, например, круг (фиг. 10)
ABCD обладает таким свойством, что лучи,
параллельные оси АВ и идущие со стороны
А, преломляются на его поверхности таким
образом, что собираются затем в точке В, то все лучи, параллельные
оси и идущие со стороны С, преломятся равным образом на его
поверхности так, что сойдутся затем в точке D. А этого нельзя сказать
ни о какой другой фигуре, хотя гиперболы и эллипсы тоже имеют
бесконечно много диаметров.
Дело обстоит, стало быть, так, как Вы пишете, а именно, что если
мы примем во внимание только длину глаза или телескопа, то для
того, чтобы различать все происходящее на Луне с такою же
отчетливостью, как то, что мы видим на Земле, мы должны были бы
делать оптические трубы чрезвычайно длинными. Но, как я уже
сказал, главную роль играет здесь угол, который образуется на
поверхности глаза пересечением лучей, исходящих из
533534
различных точек. Угол же этот будет больше или меньше также в
зависимости и от того, насколько различаются между собой фокусы
вставленных в трубы стекол. Если заинтересуетесь доказательством,
то я готов во всякое время послать его Вам.
Ворбург, 3 марта 1667 г.
ПИСЬМО 40 216
Просвещеннейшему и благоразумнейшему
мужу Яриху Иеллесу
от Б. д. С.
Последнее письмо Ваше от 14-го числа этого месяца я
своевременно получил, но различные обстоятельства не позволили
мне ответить Вам быстрее. Я беседовал с господином Воссием 218 о
деле Гельвеция 219. Он (чтобы не пересказывать здесь всего того, о чем
мы с ним говорили) много смеялся и удивлялся, как я могу
спрашивать о таких пустяках. Тогда я, но придавая этому большого
значения, отправился к тому самому золотых дел мастеру, который
испытывал это золото и которого зовут Брехтельтом. Этот последний
повел речь совсем иного рода, чем Воссий, утверждая, что при
плавлении и очищении золото действительно увеличивалось в весе и
притом как раз на столько, сколько весило положенное в плавильник в
целях очищения золота серебро 220. Так что он твердо убежден в том,
что то золото, которое превратило в золото его серебро, заключало в
себе что-то особенное. Да и не он один, но и другие господа,
присутствовавшие при этом, нашли, что дело обстояло,
действительно, таким образом. После этого я отправился к самому
Гельвецию, который показал мне и самое золото и плавильник,
изнутри еще покрытый золотом, причем рассказал, что он бросил в
растопленный свинец крупинку [золота] величиною не более
четвертой части ячменного или горчичного зерна. Он прибавил, что
намеревается вскоре опубликовать описание всей этой истории и что
534535
ма (он предполагает, что это то же самое лицо, которое заходило к
нему) проделал то же самое, — о чем Вы, без сомнения, уже слышали.
Вот все, что я смог разузнать об этом деле.
Что касается автора упоминаемой Вами брошюры 221 (в которой он
берется доказать, что аргументы Декарта, которые тот приводит в
третьем и четвертом «Размышлении» 222 и которыми он доказывает
существование бога, ложны), то я полагаю, что он сражается со своей
собственной тенью и бьет больше самого себя, чем других.
Признаюсь, впрочем, что аксиома Декарта выражена, как и Вы
заметили, несколько темно и что было бы яснее и правильнее
выразить ее следующим образом: способность (potentia) мысли к
мышлению не больше, чем способность (potentia) природы к
существованию и действованию. Это вполне ясная и истинная
аксиома, по которой существование бога следует самым ясным и
несомненным образом из самой идеи о нем. Указанный Вами
аргумент вышеупомянутого автора достаточно ясно показывает, что
он все еще не понимает этой проблемы. Конечно, мы можем [в своих
рассуждениях] идти до бесконечности, если этим путем вопрос
разлагается на все свои части; но если этого нет, то такой прогресс в
бесконечность представляет собой большую глупость. Если,
например, кто-нибудь спросит, по какой причине движется такое-то
тело, то мы можем ответить, что оно определяется к этому движению
другим каким-нибудь телом, это последнее в свою очередь другим и
так до бесконечности. В данном случае, говорю я, мы вправе ответить
таким образом потому, что вопрос идет только о движении, и,
указывая постоянно на какое-нибудь другое тело, мы обозначаем этим
достаточную и вечную причину этого движения. Но если я увижу в
руках какого-нибудь простолюдина книгу, полную самых
возвышенных мыслей и написанную изящным почерком, и спрошу
его, откуда он имеет такую книгу, а он ответит мне, что списал ее с
книги другого простолюдина, также обладавшего изящным почерком,
и так до бесконечности, то это нисколько не удовлетворит меня. Ибо я
спрашиваю не только о форме и расположении букв, к которым
только и относится ответ, но и о мыслях и смысловом содержании,
выраженном данным сочетанием букв, а на это он ничего не отвечает
своим прогрессом в бесконечность. Каким образом все это можно
535536
применить к идеям, может быть легко усмотрено из того, что я
разъяснил в девятой аксиоме геометрически доказанных мной «Начал
философии» Декарта.
Перехожу к ответу на второе Ваше письмо, написанное 9 марта, в
котором Вы просите дальнейшего объяснения того, что я высказал в
моем предыдущем письме относительно фигуры
круга 223. Вы легко поймете мою мысль, если
соблаговолите обратить внимание (фиг. 11) на то, что
лучи, которые мы считаем падающими на наружное
стекло телескопа параллельно, в действительности
идут не параллельно (ибо они исходят из одной и той
же точки); рассматриваются же они как
параллельные по той причине, что предмет
наблюдения находится на столь большом расстоянии
от нас, что по сравнению с этим расстоянием
отверстие телескопа может быть принято за одну
точку. Далее, несомненно, что для восприятия всего
объекта нам нужны не только лучи, исходящие из
одной точки, но все пучки лучей, исходящие из всех
его точек; а потому необходимо, чтобы, проходя
через стекло, они собирались в таком же количестве
фокусов. И хотя сам глаз устроен не с такой
точностью, чтобы все лучи, идущие из различных
точек объекта, вполне точно сходились на дне его в
стольких же точках, однако несомненно, что те
фигуры, которые способны обеспечить этот
результат, должны быть предпочитаемы всем прочим
фигурам. А так как [любой] определенный сегмент
круга может все лучи, исходящие из одной точки,
собрать (выражаясь механически) в другую точку
своего диаметра, то он соберет также и все другие
лучи, исходящие из других точек объекта, в соответственное число
других точек. Ведь из каждой точки объекта может быть проведена
линия, которая пройдет через центр круга, хотя для «этой цели
отверстие телескопа должно быть сделано гораздо меньшим, чем в
том случае, если бы мы имели надобность
536537
только в одном фокусе. В этом Вы легко можете убедиться сами.
Все сказанное мной здесь о круге неприложимо ни к эллипсу, ни к
гиперболе, а того менее — к какой-нибудь другой, более сложной
фигуре, потому что при других фигурах только из одной
единственной точки объекта можно провести такую линию, которая
прошла бы через оба фокуса. Вот что я хотел сказать об этом предмете
в первом моем письме.
Доказательство того, что угол, образуемый на поверхности глаза
лучами, исходящими из разных точек, имеет большую или меньшую
величину, в зависимости от расстояния между фокусами, Вы можете
усмотреть из прилагаемого чертежа, так что, пожелав Вам всего
лучшего, мне остается только засвидетельствовать Вам, что и т.д.
Ворбург, 25 марта 1667 г.
ПИСЬМО 41 221
Просвещеннейшему и благоразумнейшему
мужу Яриху Иеллесу
от Б. д. С.
Просвещеннейший муж!
Изложу Вам в кратких словах то, что я нашел экспериментальным
путем, относительно того, о чем Вы меня спрашивали сперва устно, а
затем письменно. К этому я добавлю то, что я теперь думаю об этом
предмете.
Я заказал себе деревянную трубу (фиг. 12), длиной в 10 футов,
шириной в 12/3 дюйма. К этой трубе я прикрепил три
перпендикулярные трубы, как это изображено на прилагаемом
чертеже. Чтобы испытать прежде всего, одинаково ли будет давление
воды в трубках В и Е, я запер трубу М в пункте А нарочно
приготовленным для этого деревянным засовом. Затем я сузил
отверстие трубы В настолько, чтобы оно плотно удерживало
стеклянную трубочку С. После чего, наполнив трубу водой через бак
F, я отметил, до какой высоты вода била из трубочки С. Затем я
заткнул трубку В и вынул засов А, открыв таким образом доступ воде
в трубу Е, которую я оборудовал
537538
таким же способом, как В. И, наполнив опять всю трубу водой, я
нашел, что вода била из трубочки D
