мучился над этим вопросом. Вся книжка г. Паульсона составлена из таких вопросов, и всё происходит оттого, что великие педагоги Грубе и Паульсон заботятся о том, как бы учить тому, чему всякий ребенок давным давно выучился. Заботятся о том способе обучения, который составлен давным давно Господом Богом, поставившим разумное существо – человека, со дня его рождения, в условия пространства, времени и числа. Математика имеет задачею не обучение счислению, но обучение приемам человеческой мысли при исчислении. Педагогия не может основываться на фантазиях и односторонних опытах. Она основывается только на вечных законах философии и науки, одинаково проявляющихся в высших выражениях мысли и знания и в первобытной душе ребенка. Плохо ли, хорошо ли учили по четырем правилам, но грани четырех правил останутся всегда и в душе ребенка, и в самой науке, и всякий, выучившийся хоть у дьячка наизусть четырем правилам, сделает из них приложение. Учащийся по Грубе будет только учиться в школе с меньшими удобствами тому, чему учит его жизнь. Появление такой книги, как Паульсона, с своею мнимо-серьезною критикой прежней методы, напоминает мне пожар в нашей деревне. Горело на одной стороне реки. Мы таскали воду, ломали, поливали, делали что могли. Вдруг, на другой стороне видим безумно несущуюся к нам тройку с человеком, стоящим на телеге, неистово махающим руками и что-то кричащим. Это был сосед-помещик; он на скоку выскочил, упал, потерял фуражку, подбежал к самому берегу и, махая руками, что-то относимое ветром кричал нам, требуя к себе внимания. Действительно, все бросили дело и подошли к реке, чтоб услышать от него совет помощи. «Водой тушите! водой!»—кричал помещик, – и больше ничего. Мы все переглянулись: и смешно, и досадно, и гадко сделалось нам. Точь в точь то же впечатление производит на нас вообще Anschauungsunterricht и в особенности это наглядное обучение в приложении к математике, вторгающееся в педагогику с громкими фразами, требуя к себе внимания и не давая ровно ничего полезного и нового. Необходимо прочесть следующее.

ЧИСЛО «ДВА».

– Сколько у меня грифелей в правой руке?

– В правой руке у вас один грифель.

– А в левой?

– Также один грифель.

– Вместе это составит два грифеля. Следовательно сколько у меня грифелей?

– Сколько на столе книг?

– На столе одна книга.

– Я к ней прибавлю еще одну книгу; теперь на столе две книги. Одна книга и еще одна книга, сколько составят книг? – Одно перо и еще одно перо, сколько перьев? Один камешек и еще один камешек, сколько камешков? Теперь я напишу одну черточку и прибавлю к ней еще одну; сколько это будет черточек? и т. д.

– Кто знает зверя, у которого есть один рог и еще один рог? – Сколько рог у коровы? А сколько у лошади?

– Сколько у тебя ушей? – Какие части у тебя еще по два?

– У меня два глаза, две щеки, две руки, две ноги.

– Сколько на тебе сапог?

– На мне два сапога.

– Когда две вещи совершенно равны и употребляются всегда вместе, то вместо два говорят пара. Стало-быть сколько на тебе сапог?

– На мне пара сапог.

– А сколько чулок?

– На мне пара чулок.

При случае можно также объяснить слова оба и двое.

– Вот медная монета; кто ее знает?

– Это копейка.

– Сколько копеек?

– Одна копейка.

– Ну вот еще одна копейка; сколько они составят вместе?

– А вот другая медная монета, больше первых, кто ее знает? Это две копейки, т. е. за эту одну монету можно получить две маленькие; мы поэтому и можем ее назвать двухкопеечной монетой; обыкновенно же ее называют грошом.

– Павлуша получил от папеньки одно яблоко и спрятал его; потом он получил одно яблоко и от маменьки; сколько же у него всего яблоков? Если у меня есть что-нибудь одно и я прибавлю к нему еще одно, то сколько у меня будет? Стало-быть один и один – сколько?

– В левой руке у меня одна копейка, а в правой две; в которой больше? в которой меньше? – Сколькими копейками в правой руке больше? – Сколькими в левой меньше?

– Два грифеля чем больше одного? – А один грифель чем меньше двух?

– Ваня получил одно перо, а Коля два; у которого больше, у которого меньше? Многим ли у Вани меньше, чем у Коли? А многим ли у Коли больше, чем у Вани?

– Чем два больше одного? И чем один меньше двух?

– Здесь одна тетрадь; сколько тетрадей я должен прибавить, чтоб тут было две тетради?

– Вот два ореха; сколько орехов я должен взять прочь, чтоб остался один орех? – А сколько я должен взять прочь, чтоб ни одного не осталось?

– Я написал две черточки; сколько останется, если я сотру одну черточку?

– Солдат лишился на войне одной руки; сколько у него осталось рук? А сколько осталось ног?

– Если из двух вещей у меня одну отнимут, то сколько у меня останется? – Стало-быть два без одного сколько? – А два без двух? – Один без одного? – Один без двух?

– Вот тебе, Саша, одна копейка; сколько раз я тебе дал по одной копейке?

– Один раз.10

– И сколько у тебя копеек?

– У меня одна копейка.

– Следовательно один раз по одной копейке составит сколько копеек?

– Вот тебе, Коля, две копейки; сколько раз я тебе дал по две копейки?

– Один раз.

– Следовательно, один раз по две копейки также?..

– Миша получил от маменьки в воскресенье один бергамот и в понедельник опять один. – Сколько раз он получил по одному бергамоту? И сколько он получил всего бергамотов?

– Ученику дали за прилежание два стальных пера; это было в понедельник; потом он уж всю неделю ничего не получал; сколько раз он был награжден перьями? И сколько ему досталось перьев?

– Одну вещь я могу подарить сколько раз? – А две вещи? – Два раза по одной, или же за один раз обе.

– Один и один сколько? – А один раз один? – Сколько один раз два? – А два раза один?..

– Вместо раз говорят также жды. Одиножды один? Одиножды два..? Дважды один..?

– Вот вам, Петя и Саша, два карандаша; поделитесь ими так, чтобы у каждого из вас было ровно (дети совершают раздел), сколько каждый из вас получил?

– Один карандаш.

– Но еслиб я вам дал не два, а один карандаш, то как бы вы им поделились?

– Мы бы его разрезали?

– На сколько кусков?

– На два.

– Почему же на два, а не более?

– Потому что нас только двое.

– Ну, а если бы один из вас получил больший кусок?

– Нет, мы разрезали бы карандаш на два совершенно равные куска

– Ну, разрежьте этот карандаш. Хорошо. Еслиб мы теперь снова смогли соединить эти два куска, то они составили бы опять что?

– Целый карандаш.

– Так; заметьте же себе, что если что-нибудь целое (карандаш ли, яблоко ли, или другая какая вещь) разбивается на несколько кусков, то эти куски называются частями этого целого. Повторите это. – На сколько частей разделили вы карандаш?

– На две неравные части?

– Нет, на две равные.

– А можно ли разделить целое на более частей?

– Можно.

– А на менее, чем на две части?

– Нет.

Во всём этом дети должны убеждаться на деле.

– Если какая-нибудь вещь разделяется пополам, т. е. не более, как на две части, то каждая часть называется второю частью или половиною. Повторите это. Петя, какую часть карандаша ты получил? – А ты, Саша? – Каждый из вас получил…? – Целое имеет сколько половин?

Вопрос об одном и том же должен быть сделан каждому ученику, но всякий раз с некоторым изменением в обороте или содержании.

– Теперь, Ваня и Коля, ваша очередь. Разделите-ка между собой эти две копейки поровну. Сколько у каждого из вас? – Ну, а еслиб я вам дал на раздел эту двухкопеечную монету, то что бы вы сделали?

– Мы бы ее разрубили.

– Вот как: ну, это вам едва ли бы удалось, ведь это не карандаш. Нет, это можно сделать гораздо проще. Кто знает? Двухкопеечную монету нужно разменять на отдельные копейки, т. е. сходить в лавку, и там за эту монету дадут сколько отдельных копеек? – Стало-быть они всё равно, что части двухкопеечной монеты. – Так какую часть двух копеек получил ты, Ваня? А у тебя, Коля, половина чего? – Одна копейка какая часть двух копеек?

– Два мальчика получили яблоко на равный раздел. Сколько каждому досталось? – А вместе у них было сколько половин? – Одна девочка получила половину двух апельсинов; сколько это? – Одному брату дали две груши, а другому только вторую часть двух груш; сколько получил последний?

– Два мальчика поделились двумя сухарями; кто из них получил больше, кто меньше? – У меня на рубашке две запонки, а у тебя одна, сколько раз (или во сколько) у меня более запонок, нежели у тебя? А во сколько у тебя менее, чем у меня?

– Если у меня есть две булки, то сколько раз я могу съесть по одной? – А сколько раз по две булки? – Здесь на доске две черточки; сколько раз я могу стереть по одной черточке? – А сколько раз по две? – Сколько отдельных копеек содержится в гроше? – Сколько раз одна копейка содержится в гроше? – Сколько раз (или во сколько) два камешка более одного? – Во сколько одна груша менее двух?

– Один и один..? Два состоит из ..? Два сколько раз один? – Сколько раз можно отнять один из двух? – Сколько раз можно отнять два от двух? – Сколько раз два содержится в двух? – Сколько раз один в одном? – Сколько раз один менее двух? – Во сколько два более одного?

– Федя купил себе два пера и за каждое перо заплатил одну копейку; сколько же он заплатил за оба пера? – Катя купила себе на две копейки яблоков; каждое яблоко стоило одну копейку; сколько же она получила яблоков? – Вася заплатил за два листа бумаги две копейки, во сколько ему обошелся лист? – У Мити была одна копейка, а у брата его, Саши, вдвое больше; они пошли покупать грифелей, и Саша купил себе за все свои деньги два грифеля; сколько же грифелей получил Миша и во сколько обошелся им каждый грифель?

Повторяем, что от учеников необходимо требовать не только вычисления задачи, но и решения; первую