основательно, когда оно являлось в одно и то же время и в отвлеченном и примененном образах. Исчисление заключает в себе две нераздельные деятельности: уразумение численных отношений самих по себе и соединение их с практикою жизни. Кто же знаком только с первою деятельностью, тот еще не знает исчисления, хотя бы он и умел производить все действия над всевозможными числами. Чтобы выучиться исчислять всё, что встречается в жизни, необходима теоретико-практическая деятельность. Так, например, если ученик рассмотрел число 6 в следующих отношениях: 6 × 1, 3 × 2 и т. д., то эти отношения тотчас же должны быть применяемы к различным частным случаям, взятым из известного ребенку круга общежития; например, ежели одна булка стоит 1 копейка, что стоят 6 булок? Ежели 6 булок стоят 6 копеек, что стоит одна? Ежели за одну булку ты заплатил 2 копейки, то сколько ты должен заплатить за три булки? Ежели один золотник чаю стоит 2 копейки, сколько стоит 3 золотника и т. д. Не должно смешивать это прикладное исчисление с производством действий над «именованными числами». В элементарную арифметику входят собственно только именованные числа, ибо каждое число должно быть объявляемо посредством видимых предметов, будь то черточки или палочки, камешки или деньги; а для того, чтобы дитя приучилось к отвлечению численного представления, «наименования» должны почаще меняться. Но тут собственно нет еще никакого применения, потому что при всех задачах употребляются выражения, объясняющие действие, как-то: прибавь, отними, возьми столько раз и т. д. В применении же прямая связь между частным случаем и арифметическим действием скрыта, и ученику предоставляется отыскать эту связь. Так, например, чтобы решить задачу: «один золотник чаю стоит 2 копейки, что стоят три золотника?» — ученик должен сперва сделать следующий общий вывод: «если я какой-либо товар возьму 3 раза, то я должен заплатить за него 3 раза и назначенную цену», а потом сознать, что на основании этого вывода задача решается посредством действия: 3 × 2 коп. = 6 коп. Коль скоро ученик дошел до того, что легко узнает арифметические отношения какого-нибудь числа (наприм. 6) в любой практической задаче, то он изучил это число всесторонне и основательно. Но чем больше число, тем сложнее и отношения его; потому-то мы и полагаем, что в элементарном курсе, где требуется строго соблюсти постепенный переход от легкого к трудному, от простого к сложному, необходимо рассматривать числа не только отдельно, но и в восходящем их порядке, начиная с единицы, и каждое число тотчас же применять к частным случаям».
«Соединив таким образом все составные части арифметического преподавания в одно связное целое и основав последовательность его на постепенном увеличении числа, Грубе создал методу, более всех других удовлетворяющую строгим требованиям новейшей дидактики; ибо преподавание по этой методе а) действует на учеников нравственно, т. е. возбуждает посильно их самодеятельность и тем внушает им любовь к учению и труду вообще; б) развивает их умственные способности; в) знакомит с сущностью науки и г) сообщает им необходимые в жизни практические знания».
«Имея в виду преимущественно народные школы, Грубе разделяет элементарную арифметику на 3 курса, конечная цель которых — основательное изучение первых действий над целыми и дробными числами, а срок — от 3 до 4 лет по 3 урока в неделю».
«Первый курс: Исчисление целыми числами от 1 до 100 — 1½ года. В первое полугодие изучаются числа от 1 до 10; а во второе и третье — от 10 до 100. В начале этого курса изустное счисление преобладает над письменным потому уже, что дети большею частью еще только что начинают писать».
«Второй курс: Исчисление целыми числами больше 100 — 1 год. В первое полугодие — изучение чисел до 1000; во второе — рассматривание чисел любой величины и упражнение в отдельных арифметических действиях. Коль скоро ученики дошли до отдельных действий, то письменные упражнения могут преобладать над изустными».
«Третий курс: Исчисление дробями — 1 год. В первое полугодие — всестороннее рассматривание дробей; во второе — упражнение в отдельных арифметических действиях».
«Из этого распределения очевидно, что в каждом курсе ученику сообщается самостоятельное целое. Еслиб ему и случилось оставить учение даже по окончании первого курса, то он все-таки познакомился уже со всею арифметикою, так сказать, в миниатюре, и тем приобрел способность развивать ее сам далее».
От начала до конца всего этого рассуждения нет искры здравого смысла, нет тени знания дела. Делить арифметику на четыре действия выдумал не какой-нибудь немец, сидя у себя в кабинете, а такое деление составляет общее свойство человеческого ума. Каждый ребенок, не видавший в глаза учителя, из жизни точно так же, как из старой школы, учится сначала сложению, потом вычитанию, умножению и делению. Найдите новое философское основание делению науки, которое бы обнимало прежнее подразделение науки, тогда вы найдете новые педагогические основания; например, возьмите для основания математики нумерацию и признайте все математические действия только видоизменениями нумерации — и тогда вы будете иметь новое основание педагогической теории; или признайте основанием математики количество отношений величин между собою; или признайте геометрию основанием всякого арифметического вычисления — и тогда у вас будет, может-быть, ложная, неполная новая педагогическая теория, но на основании такой теории вы будете иметь право сделать и новое подразделение. Вместо всего этого, великие нововводители Грубе и Паульсон, устранив старое подразделение, имевшее своим основанием известные различные приемы сложения, приняли за основание подразделения различное количество единиц. Они делали совершенно то же, что сделал бы нововводитель в механике, в которой, вместо законов сил, стал бы учить блоку, ремню, подшипнику и т. д. Гг. эти велят изучать просто числа: 1, 2, 3, 4, забывая то, что числа эти и их отношения выучены без школы каждым ребенком. Видно, что эти господа либо не имели никогда дела с живым ребенком, либо до такой степени утратили способности педагогов — следить и угадывать все пути, которыми все учащиеся доходят до знания, — что они пишут арифметику либо для себя одних, либо для воображаемых детей, воспитанных с детства вне всяких впечатлений числа, для таких детей, которых надо выучить считать так же, как выучивают считать ученую лошадь. Видно, что автор никогда не делал над детьми тех сотен наблюдений, бросающихся на глаза каждому живому учителю, что 1) самодеятельность детей возбуждается только тогда, когда задана им задачка более или менее замысловатая; 2) что дети чрезвычайно любят делать задачи большими отвлеченными числами, без всякого приложения, увлекаясь поэзией чистой математики; 3) что дети терпеть не могут задач, взятых из жизни (для детей гораздо отвлеченнее вопрос о том, сколько взял купец барыша на сотню аршин бархата, чем о том, сколько будет 50 т. помноженные на 100 т.); 4) что у детей гораздо прежде развивается способность вычислять, чем способность определенно выражать результаты и процесс вычисления, и это не недостаток, но необходимое условие развития; 5) что требование, со стороны учителя, ясного выражения результата и процесса вычисления препятствует математическому развитию; 6) что при самодеятельности учеников необходимейшее для них условие есть свобода и увлечение, которые не может производить по заказу учитель, а которого он должен ожидать и с уменьем им пользоваться; 7) что, несмотря на систематическую порчу учеников в большей части учебных заведений, ученики ждут от взрослого человека — учителя дельного и умного вопроса, и становятся втупик от вопроса: у Ноя было три сына: Сим, Хам и Афет — кто им был отец? Я помню еще из своего детства, как я мучился над этим вопросом. Вся книжка г. Паульсона составлена из таких вопросов, и всё происходит оттого, что великие педагоги Грубе и Паульсон заботятся о том, как бы учить тому, чему всякий ребенок давным давно выучился. Заботятся о том способе обучения, который составлен давным давно Господом Богом, поставившим разумное существо — человека, со дня его рождения, в условия пространства, времени и числа. Математика имеет задачею не обучение счислению, но обучение приемам человеческой мысли при исчислении. Педагогия не может основываться на фантазиях и односторонних опытах. Она основывается только на вечных законах философии и науки, одинаково проявляющихся в высших выражениях мысли и знания и в первобытной душе ребенка. Плохо ли, хорошо ли учили по четырем правилам, но грани четырех правил останутся всегда и в душе ребенка, и в самой науке, и всякий, выучившийся хоть у дьячка наизусть четырем правилам, сделает из них приложение. Учащийся по Грубе будет только учиться в школе с меньшими удобствами тому, чему учит его жизнь. Появление такой книги, как Паульсона, с своею мнимо-серьезною критикой прежней методы, напоминает мне пожар в нашей деревне. Горело на одной стороне реки. Мы таскали воду, ломали, поливали, делали что могли. Вдруг, на другой стороне видим безумно несущуюся к нам тройку с человеком, стоящим на телеге, неистово махающим руками и что-то кричащим. Это был сосед-помещик; он на скоку выскочил, упал, потерял фуражку, подбежал к самому берегу и, махая руками, что-то относимое ветром кричал нам, требуя к себе внимания. Действительно, все бросили дело и подошли к реке, чтоб услышать от него совет помощи. «Водой тушите! водой!» — кричал помещик, — и больше ничего. Мы все переглянулись: и смешно, и досадно, и гадко сделалось нам. Точь в точь то же впечатление производит на нас вообще Anschauungsunterricht и в особенности это наглядное обучение в приложении к математике, вторгающееся в педагогику с громкими фразами, требуя к себе внимания и не давая ровно ничего полезного и нового. Необходимо прочесть следующее.
ЧИСЛО «ДВА».
— Сколько у меня грифелей в правой руке?
— В правой руке у вас один грифель.
— А в левой?
— Вместе это составит два грифеля. Следовательно сколько у меня грифелей?
— Сколько на столе книг?
— На столе одна книга.
— Я к ней прибавлю еще одну книгу; теперь на столе две книги. Одна книга и еще одна книга, сколько составят книг? — Одно перо и еще одно перо, сколько перьев? Один камешек и еще один камешек, сколько камешков? Теперь я напишу одну черточку и прибавлю к ней еще одну; сколько это будет черточек? и т. д.
— Кто знает зверя, у которого есть один рог и еще один рог? — Сколько рог у коровы? А сколько у лошади?
— Сколько у тебя ушей? — Какие части у тебя еще по два?
— У меня два глаза, две щеки, две руки, две ноги.
— Сколько на тебе сапог?
—
