этом тогда-то и тогда-то, а это понятие введу тогда-то» – и этого достаточно, чтобы прочесть лекцию. В противоположность этому, импровизация представляет собой нечто возникающее откуда-то извне, проникающее сверху, из пространства по другую сторону от черты, и никакие способности нижнего пространства не позволят предсказать: «И тогда я скажу это». Импровизация приходит как дар, если вообще приходит. Но когда это случается, ты отбрасываешь всю систематичность в сторону, непредвиденное оказывается сильнее. Сохранять равновесие между этими двумя силами – очень сложная задача. Может статься, ты вообще забудешь о плане своей лекции, как только она начнется. Такое со мной тоже случалось.
Сделав шаг от двери к кафедре, я забывал обо всем и начинал без всякой подготовки говорить на совершенно другую тему – это значит, что я мог говорить целый час, а план рассказа возникал во время самой лекции. Предсказуемо лишь то, что подобное может случиться. Нельзя сказать: «Я скажу то-то и то-то». Когда это происходит, возникает некое явление. Под словом «явление» я подразумеваю те особенности, которые могут быть распознаны, обнаружены – во всяком случае, некоторыми людьми. Сознание по ту сторону от черты, то есть за покровом, предстает перед нами в виде Полевого Сознания. Оно может ощущаться как нечто расширяющееся, как осязаемая тишина с лишенным формы содержанием. Оно способно взять верх над указаниями умозрительных построений. Когда такое происходит, оно захватывает власть твердой рукой, и человек может сделать то, на что обычно не способен. Оно может вызвать у тех, кто оказался рядом, мистические переживания – радостные состояния сознания, чувство счастья. Оно может вызвать ощущение жара – логичных пояснений этому нет, но это бывает. Ошибка исключена. Я видел, как лица становятся румяными, как они покрываются испариной, а люди начинают снимать пиджаки. Результаты бывают очень ощутимыми, а сам человек может произносить слова так, что они становятся приказаниями не только для него, но и для всех остальных.
Где источник подобных знаний? Он не один. Часть этих сведений может приходить из глубин незримой стороны самого человека. Она может быть познаниями Братства, так как это Братство представляет собой многих в одном – это не совокупность отдельных песчинок, а единое целое, которое можно описать таким образом: «я» превращается в «мы», одновременно оставаясь «я». Выше и ниже этих знаний простираются мысли, которые не принадлежат какой-либо личности – знания, не требующие познающего, нечто вроде Всеобщего Хранилища. Это та сила, которая способна менять сознание человека, переносить его ближе, приближать к отверстию вверху. Возникнув, такое состояние начинает главенствовать над всем прочим. Оно может царить некоторое время, а потом уйти. В таких случаях я вновь возвращаюсь к систематичности. Спонтанные отступления не следует считать личной прихотью говорящего, это результат совместных усилий выступающего и слушателей. Они никогда не случаются, если ты окружен неблагожелательной аудиторией или теми… ну, например, теми, кто думает: «Кем этот парень себя воображает?» Все зависит от внутренней связи. Для поисков такой связи часто требуется время, но это возможно. Эти состояния могут быть очень глубокими, почти такими же мощными, как самадхи [15] во время бодрствования.
Это крошечный проблеск чего-то Запредельного. Заглядывая в эти глубины, относительное сознание может сначала счесть их тьмой, безмолвием и пустотой. Однако при смещении на их собственный уровень, при переходе к иному способу постижения они воспринимаются как необычайно яркий свет, как полнота и вершина содержательности – как внутренняя сущность звучания. По существу, это происходит и сейчас…
Помнится, я сказал, что мы перейдем к вопросу определений. Давайте переключаться. Что такое математика вообще? Название моих лекций: «Математика, философия и йога». Такое сочетание тематик имеет свои причины. Это тот путь, которым я шел, и потому я лучше всего знаком именно с ним. Если вы обратитесь к различным справочникам, как сделал я, то найдете в них множество разнообразных определений того, что понимается под математикой. Я нашел одно из них в «Сэнчери Дикшнэри», где математика определяется как «наука о количестве» [16]. Кажется, такое представление очень широко распространено, но оно остается чрезвычайно далеким от истины. В математике есть много областей, не имеющих ничего общего с количественными отношениями – например, алгебра логики, творение великого ирландского ученого Буля, которого Рассел назвал первым чистым математиком. Алгебра логики не связана с количеством, она рассматривает классы, множества, взаимоотношения между ними и прочие подобные вопросы.
Другим примером направления, никак не связанного с вычислениями, – кстати, очень красивым направлением, – является проективная геометрия. Думаю, пример из этой области покажется вам занятным. В проективной геометрии вообще не рассматриваются метрические свойства, в ней не используются измерения. Понятие меры является основополагающим во всем, что касается количества, но проективная геометрия занимается описательными свойствами. Начертим две произвольные прямые и назовем их L и L’ (см. рис. 8).
Рис.8
Выберем на каждой прямой по три произвольных точки. Обозначим точки на прямой L буквами А, В и С, а точки на прямой L’ -А’, В’ и С’. Теперь соединим отрезком точки Аи В’, а также пару А’ и В. Отметим место пересечения этих отрезков. После этого построим отрезки, соединяющие пары точек В и С’, С и В’, С и А’ и, наконец, С’ и А. Помните, что прямые и все точки были выбраны совершенно произвольно, мы не прибегали к каким-либо измерениям. Кроме того, прямые вообще бесконечны. В проективной геометрии все прямые имеют бесконечную длину, так как операции с ними не связаны с измерениями. Длины и углы не имеют никакого значения. Эта теорема (первым ее доказал Паскаль [17], и она является частным случаем более общей теоремы о конических сечениях) заключается в том, что три полученные точки пересечения построенных отрезков лежат на одной прямой. Математику такой результат кажется очень красивым -и не потому, что его можно увидеть воочию, а по той причине, что он оказывается полной неожиданностью. Вся изюминка в том, что это справедливо для любых, самых произвольных прямых. Точки также выбираются произвольным образом – вы можете поместить их куда пожелаете. Вы просто чертите прямые L и L’, проводите три соединяющих их отрезка – и обнаруживаете, что полученные точки пересечения находятся на одной прямой. Если вы ощутили это, то получили определенное представление о той красоте, которую ценят математики. Это умозрительная красота. Она заключается в том, что между элементами, которые казались независимыми, разрозненными, внезапно возникает некое единство. Подобные переживания случаются часто, но обычно осознаются только при высоком уровне сосредоточенности, способном вызывать экстатическое состояние.
Более полное и точное определение математики приводится в «Словаре философии и психологии» Болдуина. Там сказано, что «математика представляет собой науку об абстрактных отношениях» [18]. В своей статье для девятой редакции «Британской энциклопедии» Уильямсон говорит, что «любая концепция, полностью описываемая конечным набором определений, является математическим понятием» [19]. Кроме того, Рассел сказал, что чистая математика представляет собой класс всех утверждений в форме «р влечет q», где р и q являются утверждениями, содержащими один и тот же набор переменных и не включающими в себя никаких постоянных, кроме логических констант.
Вернемся к неметрическим областям математики. Помимо алгебры логики и проективной геометрии, существует топология, которую иногда называют «геометрией на резиновой плоскости». Это чрезвычайно важное направление. Топология изучает те отношения, которые остаются неизменными при любых деформациях пространства. Скажем, плоскость можно растянуть таким образом, чтобы квадрат превратился в круг, а эллипс – в любую другую фигуру. Что же останется неизменным? Связность отдельных частей. Подобные опыты приводят ко множеству занятных построений – например, к созданию односторонней поверхности -ленты Мебиуса (см. рис. 9).
ЛЕНТА МЕБИУСА
Рис.9
Если вы перекрутите бумажную ленту ровно один раз, а затем склеите ее концы, то сможете, не отрывая карандаш от бумаги, провести вдоль центральной оси этой ленты одну прямую, которая протянется по обеим сторонам и вернется к исходной точке без необходимости изменения направления движения на обратное.
Порой люди занимаются исследованиями очень странных вещей, многие из которых чрезвычайно далеки от вопросов, связанных с измерениями.
Мы приближаемся к тому вопросу, который выходит за рамки любых определений, – к вопросу об основополагающей сущности математики. В ней выделяют три общепризнанные школы. Одна из них известна как логицизм, и самым видным ее представителем был Рассел. Логицисты считают, что математика – это только логика. Они придерживаются представления о том, что всю ныне известную математику и любые математические направления, которые могут возникнуть в будущем, можно свести к чисто логическому процессу (такому процессу, который можно использовать для программирования технических устройств). Сделать это пока не удалось. Логицизм сталкивается со множеством трудностей, с очень серьезными парадоксами. Например, представим себе множество всех множеств, которые не являются собственными элементами. Входит ли такое множество само в себя [20]? В свое время этот вопрос, то есть задача, был направлен в адрес Пеано [21], который только что завершил двухтомный труд по математической логике. Книга уже была в типографии, но этот вопрос полностью обесценивал ее содержание. Пеано сказал: «Как трудно смириться с тем, что после долгих лет, посвященных научным исследованиям, воздвигнутая вами башня разваливается в один миг». Вы можете сами убедиться в том, что на такой вопрос нельзя ответить ни «да», ни «нет». Этот парадокс возник в рамках самого взгляда на природу математики. Я задумываюсь о том, не попытались ли логицисты сделать ее чрезмерно чистой – в том смысле, что практически отказались от интуиции и свели математику к логическому процессу, который не пользуется интуицией и не испытывает в этом потребности.
Сейчас я попытаюсь подвести всему этому итог. Многие из вас еще не понимают, к чему я веду, но в действительности мы говорим о силах и слабостях, ограничениях чистого мышления, – а такое чистое мышление проявляется именно в математике. Поэтому я надеюсь, что вы не пожалеете о потраченном на понимание этих примеров времени – даже те из вас, у кого нет особых познаний в математике. Кроме того, подобные рассуждения отчасти подготовят нас к некоторым возможным трудностям.
Другой школой математики является формализм, связанный, в частности, с Гильбертом [22]. В отличие от школы Рассела, формализм уделяет особое внимание не логике, а необычным формам геометрии. Когда Евклид [23] писал свои труды по геометрии, он воспользовался рядом предположений, которые назвал «аксиомами», то есть «самоочевидными истинами», чем-то таким, в правильности чего никто не сомневается. В действительности, Евклид представил их в форме постулатов, а не обычных определений (аксиом) [24]. Он начал с этих положений и вывел из них все остальное. Пятая аксиома, известная как аксиома о параллельности [25],
