выглядит очень сложной. В ней утверждается: если сумма двух внутренних углов по одну и ту же сторону от некой прямой, пересекающей две заданные прямые, равна сумме двух прямых углов, то исходные прямые не пересекаются (см. рис. 10). Это утверждение кажется похожим на теорему, то есть на нечто требующее доказательства, но на самом деле это аксиома. В современных учебниках вы, вероятнее всего, встретите ее в такой формулировке (см. рис. 11): через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой АВ. Так ее описывают в наши дни, а первый вариант представляет собой формулировку Евклида. Поскольку она выглядит похожей на теорему, многие математики пытались доказать ее, опираясь на остальные аксиомы, но потерпели полную неудачу.
ПЯТАЯ АКСИОМА ЕВКЛИДА
Рис.10
Рис. 11
Следующим шагом стала попытка выдвинуть иные предположения. Лобачевский и Больяй [26] независимо друг от друга допустили, что через точку С, не лежащую на заданной прямой АВ, можно провести по меньшей мере две прямые, параллельные АВ. Это означает, что и прямая CD, и прямая СЕ могут не пересечь прямую АВ -нигде, кроме, быть может, бесконечности. Просто предположим, что это правильно. Быть может, мы так не думаем, но дело не в этом. Можно ли, пользуясь этой аксиомой, построить внутренне непротиворечивую геометрию? Да. И это было сделано. В геометрии Лобачевского многие, практически все, положения Евклида, опирающиеся на аксиому о параллельности, выглядят совершенно иначе. Например, все вы знакомы с утверждением о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, но в геометрии Лобачевского эта сумма всегда превышает сто восемьдесят градусов.
Другой математик, Риман [27], примерно в те же годы допустил, что через точку С невозможно провести ни одной прямой, параллельной заданной, то есть любая из них непременно пересечет выбранную прямую АВ на конечном расстоянии от точки С. Это уточнение очень важно. В геометрии Римана движение по любой прямой в одном направлении непременно заставит вас вернуться к исходной точке с другой стороны. Быть может, это противоречит интуитивным представлениям, но в построении такой геометрии тоже нет логических ошибок. Она внутренне непротиворечива.
По мнению Рассела, в математике допустимы любые внутренне непротиворечивые концепции. Это значит, что геометрии Лобачевского и Римана имеют право на существование. Через полсотни лет после Римана родился Эйнштейн, который развил общую теорию относительности. Обнаружив, что его концепция мироздания соответствует Римановой геометрии, Эйнштейн сказал: «Как могло случиться, что заточенного в башне из слоновой кости математика посещают совершенно правильные мысли о строении внешней вселенной?» Это очень хороший вопрос. Такого чистого математика, как Риман, интересует прежде всего, так сказать, интеллектуальное упражнение. Это относится ко всем чистым математикам. Подобно богам, они не руководствуются исключительно чувством долга. Математик делает нечто только во имя удовольствия. Такой образ жизни ведут все вольные души, и математики показывают нам огромное число примеров такой свободы. У вольной души нет обязанностей. Она делает что-то совершенно спонтанно, однако такие непреднамеренные действия почти всегда приводят к блестящим результатам. Да, чистый математик запирается в башне из слоновой кости и мыслит только ради удовольствия. После этого кто-то из проходящих мимо берет его результаты и обнаруживает, что они предлагают власть над той или иной сферой природы. Однако это вызывает у чистого математика боль, так как милая его сердцу чистота оказывается запятнанной практическим применением.
Рассказывают, что один математик, у которого возникла совершенно непрактичная идея, воскликнул: «Слава Богу, что эта мысль не имеет никаких вообразимых сфер приложения». Разве это странно? Что почувствует художник, если напишет прекрасную картину, а потом некто отберет ее и начнет использовать для продажи «кока-колы»? Те же чувства охватывают и чистого математика. Не все мы слеплены по одному образцу. Вот простой факт: практически все математические творения были созданы чистыми математиками, запиравшимися в башнях из слоновой кости; к тому же всем нам известно, что любые попытки творить ради практической пользы делают творчество невозможным. Единственным исключением стала развитая Ньютоном теория производных, то есть дифференциального исчисления. Ньютона занимали концепции мироздания, а математика оставалась для него лишь инструментом. То же самое можно сказать и о значении математики для Винера [28], одного из главных теоретиков в области создания вычислительных машин в наши дни. Он был склонен заниматься не чистой, а прикладной математикой.
Поговорим об этом подробнее. Вот история о Рамануджане [29], величайшем восточном (индийском) математике моего времени, и об английском ученом Харди [30]. Оба были чистыми теоретиками. На одной из своих лекций Харди рассказывал о том, как нанял кэб и отправился навестить Рамануджана, когда тот гостил в Англии. Появившись, Харди сказал: «Я приехал на кэбе номер 1729 – очень скучное число». Его друг-индиец возразил: «Напротив, это очень интересное число. Это минимальное из всех чисел, которые можно двумя различными способами представить в виде суммы двух кубов». Попробуйте самостоятельно найти решения этой задачи [31].
Дело в том, что вольная душа не трудится, а играет. Действия такого человека представляют собой спонтанное проявление радости, но такой подход приводит к величайшим открытиям. Что касается расцвета формализма, который начался после развития неевклидовых геометрий, то этот подъем стал подлинной революцией в представлениях о природе математики. Была низвергнута сама идея аксиом, то есть убежденность в существовании неких несомненных истин, на основе которых выстраиваются логические рассуждения. Вместо аксиом у математиков осталось только то, что можно назвать «основополагающими исходными посылками». Впоследствии это привело к созданию самых разнообразных экзотических геометрий. В качестве примера используем такие основополагающие исходные посылки (те, кому известны аксиомы Евклида, могут их не узнать):
Аксиома 1. Если а и b – различные элементы множества S, то существует по меньшей мере один класс L, одновременно содержащий в себе и а и b.
Аксиома 2. Если a и b – различные элементы множества S, то существует не более одного класса L, одновременно содержащего в себе и а и b.
Аксиома 3. Любые два класса L имеют по меньшей мере один общий элемент из множества S.
Аксиома 4. В множестве S существует по меньшей мере один класс L.
Аксиома 5. Любой класс L содержит по меньшей мере три элемента множества S.
Аксиома 6. Все элементы множества S не могут одновременно принадлежать одному классу L.
Аксиома 7. Ни один класс L не содержит более трех элементов множества S.
Обратимся к практическим приложениям этой геометрии. Предположим, существует некая банковская фирма, у которой есть семь совладельцев. Чтобы обеспечить правильное обращение с информацией, относящейся к вопросам ценных бумаг, совладельцы решили образовать семь комиссий, каждая из которых будет связана с определенной областью. Кроме того, партнеры договорились, что каждый из них должен стать председателем какой-либо комиссии и членом трех – ровно трех – комитетов в целом. Запишем названия комиссий и списки их членов; председателем подразделения является тот совладелец, чье имя указано первым:
Внутренние железные дороги: Адаме, Браун, Смит. Муниципальные долговые обязательства: Браун, Мерфи, Эллис.
Федеральные долговые обязательства: Мерфи, Смит, Джонс. Южноамериканские ценные бумаги: Смит, Эллис, Гордон. Национальная черная металлургия: Эллис, Джонс, Адаме. Континентальные ценные бумаги: Джонс, Гордон, Браун. Акции коммунальных предприятий: Гордон, Адаме, Мерфи.
Бесплотный дух Евклида! Вот чем становится современная геометрия! Этот список полностью соответствует нашим аксиомам. В прошлом слово «геометрия» обозначало землемерные работы, но теперь это понятие потеряло прежний смысл. Сейчас формалисты утверждают, что математика – это игра с формальными сущностями; подобно шахматам, она не несет никакого содержания, и все же люди играют в нее очень серьезно.
Лекция 3
С момента нашей прошлой встречи я большую часть времени был опьянен, но не тем вином, что делают из винограда, а совсем иным напитком – тем, который воспевают персидские мистики. Я окидывал взглядом танец мысли, представляемый на мировой сцене, я видел многих танцоров. Я видел Декарта [1], который валялся в постели до полудня, флиртуя с аналитической геометрией, – так и родилась современная мысль, математическая и философская. Я видел еще одного молодого человека в возрасте около двадцати четырех лет; он был так поглощен своими «Principia» [2], что забывал о еде и сне, но мышление этого человека стало тем ритмом, под который сегодня танцуют все инженеры. Этот молодой человек по имени Ньютон был настолько влюблен в свои «Principia», что однажды, как рассказывают, оставил у стола с поданным завтраком своего друга и сестру – она не имела над ним власти. Прошло несколько часов, друг Ньютона проголодался и решил немного поесть… а потом еще немного… и в конце концов съел все, что было на столе. А позже сэр Исаак Ньютон (впрочем, тогда он еще не был «сэром») спустился вниз, кивнул приятелю, сел за стол, посидел немного и сказал: «Мне казалось, что сегодня утром я еще не ел, но, должно быть, я ошибся». Такое случается со всеми танцорами мысли.
Еще одним человеком, который обладал всеми знаниями, известными миру Запада, – последним человеком, знавшим все, – был Лейбниц; он создал великую математику и великую философию. Кроме того, были Вейерш-трасси его чела Софья [3], которая стала величайшей женщиной-математиком. Был Гильберт, лучший математик своих дней. Однажды, читая лекцию студентам, он запнулся, так как не мог умножить 6 на 7. Один студент с готовностью выкрикнул: «41», а другой: «43». Гильберт ответил: «Господа, господа, я уверен, что существует единственный правильный ответ». Хорошее подтверждение тому, что математики редко умеют хорошо считать. Это две весьма различные способности.
Помимо того, я пересек мысленным взором весь мир и заглянул в чужие земли, чтобы увидеть Шанкару-математика из математиков, который еще мальчиком скитался по всей Индии и вызывал смятение у браминов; он уводил мужей от жен, так как те становились его саньясинами. По каким-то непонятным причинам женам это очень не нравилось, но выбора не было – оставалась только возможность примкнуть к рядам победителя. Взмахивая волшебной палочкой своей логики, этот человек заставил мир зримых проявлений исчезнуть, и на месте этого мира не осталось ничего, кроме Бога.
Вот пример его могущественной логики. Шанкара говорил, что, когда человек осознает иллюзорность определенного явления, это явление не только прекращает существование, но и лишается права на существование когда бы то ни было. Возможно, вам будет проще понять это, если такое переживание сравнить со зрелищем миража в пустыне. Путешествуя по пескам, вы видите прекрасное озеро. Иссушающая жара заставляет воду выглядеть особенно освежающей. Вы идете к озеру до тех пор, пока не замечаете некую странность, и тогда понимаете, что видите мираж. Что произошло с озером, когда оно было осознано как мираж? Оно просто исчезло в
